MaFy-provet 2024 – uppgift 2

Lösningsförslag till fråga 2 från Matematik- och fysikprovet 2024.

Om $a$ och $b$ är reella tal så är villkoret 􏰃"minst ett av talen a och b är skilt från 0"􏰄 ekvivalent med

(a) $ab\ne 0$

(b) $a^2+b^2\ne 0$

(c) $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ne 0$

(d) inget av (a)-(c)

Här behövs några kortare resonemang för att hitta rätt svar. Det vi vill undersöka kontrollera är om svarsalternativet kräver att "a, b eller båda är nollskilda". Det innebär att det ska vara okej att ett av a och b är noll, samt att båda är nollskilda, men inte att båda är noll. 

Därför kan vi testa med fallen $a=0; b=2$, $a=2; b=0$ samt $a=2;b=2$. Dessa fall är godkända enligt påståendet. 

(a): Om $a=0; b=2$ blir produkten av de noll. $ab\neq0$ kräver alltså att både a och b är nollskilda, vilket inte stämmer med vårt påstående.

(b): Våra tre testfall klarar detta krav. Genom att flytta $b^2$ till HL fås likheten $a^2=-b^2$

Den likheten är alltid uppfylld, då $a^2\geq0$ och $-b^2\leq0$. Den enda uppsättning tal a och b som alternativet utesluter är $a=0; b=0$, vilket är precis vad uppgiftens påstående utesluter. (b) är därför rätt svar.

Under själva provet hade detta varit nog – (b) stämmer, markera det och gå vidare. Men för att göra ett komplett underlag kikar vi också på (c). 

(c): Detta alternativ klarar inte att något av talen är noll, och kan därför strykas direkt. 

Svar: (b), $a^2+b^2\ne 0$.

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.