MaFy-provet 2024 – uppgift 19

Lösningsförslag till fråga 19 från Matematik- och fysikprovet 2024.

En triangel har sidlängderna $\sqrt{13}$, $\sqrt{41}$, $\sqrt{52}$ längdenheter. Den minsta vinkeln i triangeln är då

(a) 30°

(b) skild från 30°

(c) det går inte att avgöra

(d) det finns ingen sådan triangel

Rita upp en triangel som har ungefär dessa sidlängder:

Det är vinkeln $x$ som är intressant. Triangeln finns, och därmed går vinkeln x att bestämma. Därför kvarstår endast alternativ (a) och (b).

Ett alternativ är att använda sinussatsen för att hitta vinkeln mellan sidorna med längderna $\sqrt{42}$ och $\sqrt{13}$ (för enkelhetens skull kan den kallas y). Om vinkeln x är 30°, kommer sinussatsen att ge: 

$\frac{\sin \left(y\right)}{\sqrt{52}}=\frac{\sin \left(30°\right)}{\sqrt{13}}=\frac{\sin \left(180°-30°-y\right)}{\sqrt{42}}$

Vänsterled och mittenled ensamt ger: 

$\sqrt{13}\sin \left(y\right)=\sqrt{52}\sin \left(30°\right)$

vilket, eftersom att $2\sqrt{13}=\sqrt{52}$, ger att vinkeln y måste vara rät. Men sidlängderna tillåter inte detta, då de inte uppfyller Pythagoras sats. 

Det går även att stoppa in sidlängderna direkt i cosinussatsen, men siffrorna blir ganska bökiga. En snabbare metod är prova vad som händer om vinkeln är 30°. Från cosinussatsen får vi då att:

${\sqrt{13}}^2={\sqrt{42}}^2+{\sqrt{52}}^2-2\sqrt{42}\sqrt{52}·\cos \left(30°\right)$

vilket förenklas till:

$$\begin{gathered} 81\stackrel{?}{=}\sqrt{42}\sqrt{52}\sqrt{3} \\ 81\stackrel{?}{=}2·3·\sqrt{2·7·13} \\ 13,5\stackrel{?}{=}\sqrt{13·14} \\ 13,5^2\ne 13·14 \end{gathered}$$

Alltså kan vinkeln inte vara 30°. 

Svar: (b) skild från 30°.

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.