MaFy-provet 2024 – uppgift 17

Lösningsförslag till fråga 17 från Matematik- och fysikprovet 2024.

Ekvationen $x^2 + bx + c = 0$, där koefficienterna $b$ och $c$ är reella tal, har lösningarna $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{23}}2$. Man kan då dra slutsatsen att

(a) både b och c är heltal

(b) minst ett av talen b och c inte är ett heltal

(c) varken b eller c är heltal

(d) inget av (a)-(c).

PQ-formeln ger att ekvationen har lösningarna $x_{1,2}=\frac{-b}2\pm\sqrt{\frac{b^2}4-c}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}2$, vilket stämmer överens till stor del med informationen uppgiften ger om lösningarna.

Utifrån uppgiftens information och våra lösningar från PQ-formeln, ger oss ekvationen $b^2-4c=23$. Har den ekvationen några heltalslösningar?  

Sambandet mellan b och c kan skrivas om till $c=\frac{b^2-23}4$. Kan c anta något heltalsvärde?

• Om b är ett jämnt tal, kommer $b^2-23$ att vara ett udda tal, varpå bråket inte kan vara ett heltal.
• Om b är ett udda tal, kan det skrivas på formen $2k+1$, vilket ger bråket $c=\frac{\left(2k+1\right)^2-23}4=-\frac{4k^2+4k+1-23}4=k^2+k-\frac{22}4$. Här faller allt på $\frac{22}{4}$, som inte är ett heltal.

Oavsett om b är jämnt eller udda, kommer c aldrig att vara ett heltal, så minst ett av talen b och c är inte heltal (det hade gått utmärkt att lösa ut b istället för c, och göra samma motivering). Det är möjligt att ett av talen är ett heltal, men minst ett av talen är inte ett heltal.

Svar: (b), minst ett av talen b och c är inte ett heltal.

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.