MaFy-provet 2024 – uppgift 16

Lösningsförslag till fråga 16 från Matematik- och fysikprovet 2024.

Om $\alpha\in\lbrack0,2\mathrm\pi\rbrack$, så gäller

(a) $\sin\frac\alpha2=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}2}$

(b) $\sin\frac\alpha2=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}2}$

(c) $\sin\frac\alpha2=\sqrt{\frac{1-\sin\alpha}2}$

(d) ingen av formlerna gäller generellt.

Denna fråga kan lösas med halva vinkeln för sinus. För den som inte har den memorerad, kan några testfall utesluta flera svarsalternativ.

Test med vinkeln noll:

(a): Vänsterledet blir $\sin0=0$, medan högerledet blir $\sqrt{\frac{1+\cos0}{2}}=1$. Detta alternativ är inte korrekt.

(b): Formeln stämmer för detta värde.

(c): Vänsterledet blir $\sin0=0$, medan högerledet blir $\sqrt{\frac{1-\sin0}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Detta alternativ är inte korrekt.

Genom att prova med några fler vinklar, går det att bli ganska säker på att (b) är rätt svar. För att vara säker, går det att kontrollera att (b) säkert stämmer genom att kvadrera båda led:

$\left(\sin\frac\alpha2\right)^2=\frac{1+\cos\alpha}2\\2\sin^2\frac\alpha2=1+\cos\alpha\\\cos\alpha=2\sin^2\frac\alpha2-1$

som är ett känt samband för dubbla vinkeln för cosinus, så värdet stämmer. Stämmer tecknet? Ja, $\sin\frac{\alpha}{2}$ är positiv i hela intervallet, vilket stämmer med att $\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$ alltid är positiv (då det är en kvadratrot). Så (b) stämmer, men under provet är det troligtvis mer effektivt att prova sig fram.

Svar: (b), $\sin\frac\alpha2=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}2}$.

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.