MaFy-provet 2024 – uppgift 15

Lösningsförslag till fråga 15 från Matematik- och fysikprovet 2024.

Om $\cos\alpha>0$ och $\tan\alpha=p$, så gäller att $\sin\alpha$ är lika med

(a) $\frac p{\sqrt{1+p^2}}$

(b) $\frac{\left|p\right|}{\sqrt{1+p^2}}$

(c) $\frac{1}{\sqrt{1+p^2}}$

(d) inget av (a)-(c) gäller generellt.

Lösningen av denna uppgift är snarlik lösningen av uppgift 14.

Börja med att skriva om tangensuttrycket till $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=p$ ($\cos\alpha\neq0$). Lös ut $\cos\alpha$ för att få likheten $\frac{\sin\alpha}{p}=\cos\alpha$. Detta kan sättas in i formeln för trigonometriska ettan ($(\sin x)^2+(\cos x)^2=1$):

$\left(\frac{\sin\alpha}p\right)^2+(\sin\alpha)^2=1$

$(\sin\alpha{)^2\left(\frac{p^2+1}p^2\right)}=1$

$(\sin\alpha)^2=\frac{p^2}{p^2+1}$

Värdet av $\sin\alpha$ är alltså $\frac p{\sqrt{p^2+1}}$, men är värdet positivt eller negativt? Cosinus är positiv i nedanstående intervall:

Vi vill alltså att vårt uttryck ska vara negativt om $\alpha$ ligger i den fjärde kvadranten, och positivt om $\alpha$ ligger i första kvadranten.

Nämnaren i vårt uttryck, $\sqrt{p^2+1}$, är alltid positiv, så $\frac p{\sqrt{p^2+1}}$ har samma tecken som p. Om $\alpha$ ligger i den fjärde kvadranten är p negativt, och om $\alpha$ ligger i första kvadranten är p positivt, vilket är precis samma tecken som sinus har. Därför kan vi dra slutsatsen att $\sin\alpha=\frac p{\sqrt{1+p^2}}$.

Svar: (a), $\frac p{\sqrt{1+p^2}}$

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.