MaFy-provet 2024 – uppgift 12

Lösningsförslag till fråga 12 från Matematik- och fysikprovet 2024.

För alla positiva reella tal x och y gäller att

(a) $\ln{x}+\ln{y} =\ln{x}\cdot\ln{y}$

(b) $\ln{x}+\ln{y} =\ln{(x+y)}$

(c) $\ln{x} + \ln{y} = \ln{(xy)}$

(d) inget av (a)-(c) gäller generellt.

Logaritmlagarna ger oss direkt att (c) är rätt svar. Uteslutningsmetoden kan också användas för att utesluta felaktiga svar. Lämpliga tal att testa med är 0, 1, e, och $e^3$.

(a): Detta kan inte stämma för testfallet $x=e;\;y=1$, då vänsterledet blir $\ln{(e)}+\ln{(1)}=1$, och högerledet blir $\ln{(e)}\cdot\ln{(1)}=1\cdot0=0$

(b): Detta kan inte stämma för testfallet $\ln{(1)}+\ln{(y)}=\ln{(1+y)}$, då förenkling ger ekvationen $\ln{y}=\ln{(1+y)}$, som saknar lösningar.

(c): Klarar alla testfall.

Utan att formellt bevisa att (c) stämmer, går det inte att säkert utesluta alternativ (d), men testfallen ger en hyfsat säker gissning, för den som inte känner sig säker på logaritmlagarna.  

Svar: (c), \ln{x}+\ln{y}=\ln{(xy)}$$.

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.