MaFy-provet 2024 – uppgift 11

Lösningsförslag till fråga 11 från Matematik- och fysikprovet 2024.

Antalet reella lösningar till ekvationen $9e^{2x} + ae^x − 1 = 0$ för $a > 0$ är

(a) 1

(b) 2

(c) kan ej avgöras

(d) inget av (a)-(c).

$9e^{2x}$ kan skrivas som $9(e^x)^2$. Då ser ekvationen ut såhär:

$9(e^{x})^2 + ae^x − 1 = 0$

som delar många likheter med en andragradsekvation. Genom att sätta $t=e^x$, kan ekvationen förenklas till $9t^2+at-1=0$, som kan lösas som en vanlig andragradsekvation (kvadratkomplettering, PQ-formeln eller faktorisering).

$t=-\frac{\displaystyle\frac a9}2\pm\sqrt{\left(\frac a{18}\right)^2-\left(-\frac19\right)}\\t=-\frac a{18}\pm\sqrt{\frac{a^2+36}{18^2}}\\t=\frac{-a\pm\sqrt{a^2+36}}{18}$

Eftersom att a är ett positivt reellt tal, och kvadratrötter alltid är positiva, kommer $t_1=\frac{-a-\sqrt{a^2+36}}{18}$ att vara negativ, medan $t_2=\frac{-a+\sqrt{a^2+36}}{18}$ kommer att vara positiv, då $\sqrt{a^2+36}$ är större än $-a$.

$t=e^x$ är aldrig negativ, så det är endast positiva värden på t som är aktuella. Därför behöver vi lösa ekvationen $\frac{-a+\sqrt{a^2+36}}{18}=e^x$. För att spara tid kan vi konstatera att $y=e^x$ skär varje linje $y=k$ endast en gång (eftersom att funktionen är strikt växande för alla x), och därmed har ekvationen $\frac{-a+\sqrt{a^2+36}}{18}=e^x$ bara en lösning.

Svar: (a),  1.

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.