MaFy-provet 2024 – uppgift 1

Lösningsförslag till fråga 1 från Matematik- och fysikprovet 2024.

Talen $a$ och $b$ är reella. Givet att $x={\left(a+b\sqrt{3}\right)}^3-{\left(a-b\sqrt{3}\right)}^3$, så gäller att $x$ är lika med

(a) $2ab(3a+b)$;

(b) $6b\sqrt3(a^2+b^2)$;

(c) $2b(3a^2+b^2)$;

(d) inget av (a)-(c).

Ett alternativ är att prova med några olika värden. Genom att sätta $a=0$ fås $x={\left(b\sqrt{3}\right)}^3-{\left(-b\sqrt{3}\right)}^3=2b^3·3\sqrt{3}=\mathbf{6}{\mathit{b}}^{\mathbf{3}}\sqrt{\mathbf{3}}$

Alternativ (a) har värdet noll då a är noll. Detta utesluter därmed alternativ (a).

Alternativ (b) har värdet $6b\sqrt{3}·b^2=6b^3\sqrt{3}$ då a är noll. Så långt stämmer detta alternativ. 

Alternativ (c) har värdet $2b\left(b^2\right)=2b^3$ då a är noll. Detta utesluter därmed alternativ (c).

Det går här att gissa sig till att (b) är rätt alternativ. Men för att vara helt säkra behöver vi förenkla x: 

Kubreglerna säger att

$(x+y{)}^3=x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3$

$(x-y{)}^3=x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3$

Det innebär att differensen mellan dem är ${\left(x+y\right)}^3-{\left(x-y\right)}^3=6x^{2}y+2y^3$. Därmed kan x förenklas till $x=6a^{2}b\sqrt{3}+2b^3·3\sqrt{3}=6b\sqrt{3}(a^2+b^2)$, vilket stämmer överens med alternativ (b). 

Svar: (b), $6b\sqrt{3}(a^2+b^2)$

Denna tråd tillhör en trådsamling med lösningsförslag till hela provet.