MaFy-provet 2017 fråga 4

Gymath skrev:

Hur är det möjligt att lösa denna utan räknare, förutom att expandera uttrycket och sedan få ett tredjegradspolynom? Finns det något logiskt resonemang som kan användas för att komma fram till rätt svar? Lösningarna kan ju inte vara 1,2,3 eller 4. Men måste man sedan expandera? Uppgiften är från matematik och fysikprovet och är på tid och därav har man inte tid med att expandera.

 

4. Ekvationen har

$\frac{6}{x-3} - \frac{9}{x-2} = \frac{1}{x-4} -\frac{4}{x-1}$

(a) ingen reell lösning; (b) en reell lösning;
(c) två reella lösningar; (d) inget av (a-c)

sant att x ej kan va de 4 första talen i naturliga talen. Men x kan vara 5 :) (gissade ba) tror ej de finns något logiskt resonemang bakom.

Ok, men kan det inte finnas någon generell regel om att ekvationer innehållande rationella ekvationer, alltid har minst "x" lösningar om villkoret "y" uppfylls?

Om man inte bryr sig om att multiplicera ihop parenteserna kan man skriva på gemensam nämnare så här:

$$\begin{gathered} \frac{6}{x-3}-\frac{9}{x-2}=\frac{1}{x-4}-\frac{4}{x-1} \\ \frac{{\displaystyle 6x-12}}{{\displaystyle (x-3)(x-2)}}-\frac{{\displaystyle 9x-27}}{{\displaystyle (x-3)(x-2)}}=\frac{{\displaystyle x-1}}{{\displaystyle (x-4)(x-1)}}-\frac{{\displaystyle 4x-16}}{{\displaystyle (x-4)(x-1)}} \\ \frac{{\displaystyle -3x+15}}{{\displaystyle (x-3)(x-2)}}=\frac{{\displaystyle -3x+15}}{{\displaystyle (x-4)(x-1)}} \end{gathered}$$

Då ser man att det finns en lösning om -3x+15=0 => x=5

Om x inte är 5, så måste (x-3)(x-2)=(x-4)(x-1) för att likheten ska vara uppfylld.

$$\begin{gathered} \left(x-3\right)(x-2)=(x-4)(x-1) \\ {x}^2-2x-3x+6=x^2-x-4x+4 \\ {x}^2-5x+6=x^2-5x+4 \end{gathered}$$

Som saknar lösningar. Svaret blir en reell lösning.

Tack! Felet jag gjorde var att jag slängde ihop alla parenteser samtidigt!

Man tjänar ofta på att vänta lite med att multiplicera ihop, för då kan man se om det finns ett enklare sätt!

SvanteR skrev:

Om man inte bryr sig om att multiplicera ihop parenteserna kan man skriva på gemensam nämnare så här:

$$\begin{gathered} \frac{6}{x-3}-\frac{9}{x-2}=\frac{1}{x-4}-\frac{4}{x-1} \\ \frac{{\displaystyle 6x-12}}{{\displaystyle (x-3)(x-2)}}-\frac{{\displaystyle 9x-27}}{{\displaystyle (x-3)(x-2)}}=\frac{{\displaystyle x-1}}{{\displaystyle (x-4)(x-1)}}-\frac{{\displaystyle 4x-16}}{{\displaystyle (x-4)(x-1)}} \\ \frac{{\displaystyle -3x+15}}{{\displaystyle (x-3)(x-2)}}=\frac{{\displaystyle -3x+15}}{{\displaystyle (x-4)(x-1)}} \end{gathered}$$

Då ser man att det finns en lösning om -3x+15=0 => x=5

Om x inte är 5, så måste (x-3)(x-2)=(x-4)(x-1) för att likheten ska vara uppfylld.

$$\begin{gathered} \left(x-3\right)(x-2)=(x-4)(x-1) \\ {x}^2-2x-3x+6=x^2-x-4x+4 \\ {x}^2-5x+6=x^2-5x+4 \end{gathered}$$

Som saknar lösningar. Svaret blir en reell lösning.

Hur blir svaret en reell lösning om ekvationen saknar lösningar?

Jag slarvade och skrev fel i sista meningen! Det ska stå "Svaret blir ingen reell lösning.". Klantigt av mig...

Inlägg överstruket på SvanteR:s begäran. /Smutstvätt, moderator 

SvanteR skrev:

Jag slarvade och skrev fel i sista meningen! Det ska stå "Svaret blir ingen reell lösning.". Klantigt av mig...

Men svaret är "en reell lösning", hur är detta möjligt?

svaret är x=5 dvs en lösning.