MaFy prov Största antal lösningar till andragradare

Visa gärna vad du gjort.

Glöm inte bort att hela rotuttrycket måste vara positivt också (för att du skall få reella lösningar).
Du får alltså 2 saker som måste kontrolleras.

Hur gjorde du? Det skulle kunna vara så enkelt som att du gjort ett teckenfel i lösningen. 

Vad är ditt p och ditt q?

Kom ihåg att pq-formeln endast fungerar om ekvationen är på grundform, dvs

x^2 + px + q = 0

Angående olikheter - Skriv på grundform men var noga med att vända på olikhetstecknet om.du multiplicerar eller dividerar med ett negativt tal.

Hitta nollställena.

Olikheten är uppfylld antngen mellan nollstöllena eller utanför nollställena, beroende på om olikheten är < eller >.

Rita en skiss så blir det enklare att tänka.

Du får säga till om du vill ha lösningen till uppgiften. 

Har dock lite svårt för att följa din process. Om du använder LaTeX för att redovisa din process kan du förvänta dig en mycket mer levande diskussion; samt att det blir lättare för oss som vill hjälpa dig att hitta var det "körde ihop sig" med dina beräkningar.

Ett litet trix:  se och utvärdera ekvationens symmetrilinje och undersök intervallen för $\pm$ rotuttrycket . Att det ska vara positiva, reella lösningar utesluter inte dubbelrot.

Jag tror jag i alla fall är nånstans på rätt väg men vet inte hur jag skall gå vidare eller vad jag gör fel...

som sagt så gick vi aldrig igenom olikheter (konstigt nog med tanke på att dem nästan förekommer oftare än ekvationer) så har inte full förståelse hur man gör i mer komplicerade uppgifter som i MaFy proven

Du vet att symmetrilinjen är $-\frac{a}{6}$, därför kan du redan nu konstatera att a är negativ - eftersom, om du placerar symmetrilinjen på x-axeln för ett positivt tal a, kommer symmetrilinjen hamna på den negativa x-axeln. Alltså, när du tar minus diskriminanten, den negativa roten som pq-formeln innebär, kommer du få ett ännu mer negativt tal än $-\frac{a}{6}$! 

Lösningen i det här fallet är att du ska justera diskriminanten så att dess innestående uttryck är lika med noll. Alltså att du skapar en dubbelrot. Detta genererar störst värde på a, vet inte hur jag ska förklara detta pedagogiskt, så jag överlämnar det till lärarna på forumet. Men här har du ett lösningsförslag:

$$\begin{gathered} a^2+12(a^2-1)=0 (eftersom nämnaren är positiv) \\ 13a^2-12=0 \\ 13a^2=12 \\ {a}^2=\frac{12}{13}\Rightarrow a=\pm \sqrt{\frac{12}{13}} eftersom att vi konstaterade att a är negativt, iom dess symmetrilinje, är endast följande \\ lösning relevant: \\ a=-\sqrt{\frac{12}{13}}. Nu är det så att amerikanarna inte gillar rot-tecken i nämnaren, därför får vi förlänga helt enkelt: \\ a=-\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{13}}·\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=-\frac{\sqrt{12}·\sqrt{13}}{13}=-\frac{\sqrt{12·13}}{13}=-\frac{\sqrt{156}}{13}; Amerikanarna gillar inte heller när roten är för stor \\ så vi ser om vi kan bryta ut ett heltal, vilket vi kan = 4·39=156; \\ a=-\frac{\sqrt{156}}{13}=-\frac{\sqrt{4}·\sqrt{39}}{13}=\frac{-2\sqrt{39}}{13}; Största talet för a. \end{gathered}$$

Okej förstår nu varför a måste vara negativt för att lösningarna ska vara positiva, men förstår inte varför det innestående uttrycket ska sättas lika med noll? Blir det inte en olikhet som ska va större eller lika med noll?

Javisst, men du vill ha det största/minsta värdet på a när diskriminanten är större eller lika med noll. Du vill inte veta när andragradsfunktionen av a är störst, det är inte det vi söker. Vi vet att gränserna för funktionens tecken ges/ändras vid nollställena, efter som funktionen "inte har något tecken" den är noll med andra ord. Därför är de mer intressanta. Vi vill veta det största värdena på nollställena för a - vilka då blir de största minsta värdena för a på hela uttrycket/ekvationen som är definierade.

Är du med? typ-ish?

Skriv om olikheten på standardform och rita en figur över vänsterledets värden. Det blir en andragradakurva och det är då tydligt var värdena är > respektive < 0.

Aha tror jag fattar, på grund av att a är negativt så blir det största värdet på a när diskriminanten är som lägst möjliga, dvs 0? Om a hade varit positivt hade det varit när diskriminanten är som störst? Eller är jag helt borta? 

Du är nästan där!

Mitt tips är att du låter det smälta in lite grann (tråden har varit aktiv i nästan 7 timmar).  Låt det cirkulera lite i omedvetet i tankarna en dag eller två så kommer det nog defnitivt att släppa! Träna lite mer på definitioner av andragradsfunktioner och se hur de beter sig för olika tecken och se om du kan relatera till den här uppgiften. 

Okej skall jag göra! Tack!

Bortredigerat inlägg. Regelbrott 3.1. /Kajsa, admin

Hej! Jag löste uppgiften på ett annat sätt, tror att min lösningsgång borde vara korrekt.

Jag började med att skriva upp pq-formeln, fick då att $x=\frac{-a}{6}\pm \frac{\sqrt{13a^2-12}}{6}$. Uttrycket under rottecknet måste vara större än eller lika med noll för att det ska finnas reella lösningar, därför får vi att $13a^2-12\ge 0 \Rightarrow 13a^2\ge 12 \Rightarrow a^2\ge \frac{12}{13} \Rightarrow a\ge \sqrt{\frac{12}{13}} \mathrm{eller} a\le -\sqrt{\frac{12}{13}}$ . Observera att vi vänder på olikhetstecknet för den negativa roten.

Men vi vet att $a<0$, därför får vi att det enda av de två villkoren som gäller är $a\le -\sqrt{\frac{12}{13}}$.
Eftersom att alla lösningar är positiva (och reella) satte jag upp att:

$\frac{-a}{6}\pm \frac{\sqrt{13a^2-12}}{6}>0$ . För $\frac{-\mathrm{a}}{6}+ \frac{\sqrt{13{\mathrm{a}}^2-12}}{6}>0$ fås att$\sqrt{13a^2-12}>a \mathrm{och} \mathrm{för} \frac{-\mathrm{a}}{6}- \frac{\sqrt{13{\mathrm{a}}^2-12}}{6}>0 \mathrm{att}- \sqrt{13a^2-12}>a$. Sedan tänkte jag att $- \sqrt{13a^2-12}>a$ medför att $\sqrt{13a^2-12}>a$, så därför använde jag därefter endast villkoret $- \sqrt{13a^2-12}>a$. 

$$\begin{gathered} - \sqrt{13a^2-12}>a \Rightarrow 13a^2 -12<a^2 (\mathrm{Eftersom} \mathrm{att} \mathrm{vi} \mathrm{ändrar} \mathrm{tecknet} \mathrm{när} \mathrm{vi} \mathrm{kvadrerar} \mathrm{negativa} \mathrm{tal} \\ \mathrm{så} \mathrm{måste} \mathrm{vi} \mathrm{vända} \mathrm{på} \mathrm{olikhetstecknet}) \Rightarrow 12{\mathrm{a}}^2<12 \Rightarrow {\mathrm{a}}^2<1\Rightarrow -1<\mathrm{a}<1, \mathrm{men} \mathrm{då} \mathrm{a}<0 \mathrm{så} \mathrm{har} \mathrm{vi} \mathrm{att} -1<\mathrm{a}<0. \end{gathered}$$

Nu har vi alltså två villkor, att $a\le -\sqrt{\frac{12}{13}}$ och att $-1<\mathrm{a}<0$. Vi vet att $\frac{12}{13}<1$ så därför är $-\sqrt{\frac{12}{13}}>-1$, och använder vi båda villkoren så får vi då att  $-1<\mathrm{a}\le -\sqrt{\frac{12}{13}}$ och då ser vi att $a=-\sqrt{\frac{12}{13}}$ är det största a i intervallet, och det a vi söker i uppgiften.