MaFy prov - antalet lösningar på trigonometrisk ekvation

Du skall ta reda på hur många lösningar till ekvationen det finns som ligger i intervallet -pi < x < pi. (Ja, om du tittar i enhetscirkeln så är -pi och pi samma sak.)

Jag skulle börja med att dela båda sidorna med cos x (och undersöka fallet cos x = 0 separat, eftersom man inte får dela med 0).

Så att tan/cos=1? Som blir sin/cos^2=1? Vet inte hur skall jag undersöka vilka lösningar som uppfyller olikheten

MrBoom skrev :

Så att tan/cos=1? Som blir sin/cos^2=1? Vet inte hur skall jag undersöka vilka lösningar som uppfyller olikheten

Du kan t.ex. skriva om nämnaren med hjälp av trigonometriska ettan så får du en andragradare i sin(x).

Nej, jag tänkte fel. Jag borde multiplicera med cos x istället (och då behöver man inte titta på cos x = 0 separat). Trig ettan. PQ. Hoppas det blev rätt nu.

Om jag bytar ut sin mha trig-ettan så blir det ju sqrt(1-cos^2)/cos^2 = 1, men hur skulle jag gå vidare sen?

MrBoom skrev :

Om jag bytar ut sin mha trig-ettan så blir det ju sqrt(1-cos^2)/cos^2 = 1, men hur skulle jag gå vidare sen?

Nej det är cos^2 du ska byta ut mot 1-sin^2.

Då får du en andragradsekvation med sin^2- termer

Ahh okej tack, men vad gör det för skillnad av att byta ut till cos istället för sin, blir svaret annorlunda? Hur skall jag isåfall veta vilken jag ska substituera?

MrBoom skrev :

Ahh okej tack, men vad gör det för skillnad av att byta ut till cos istället för sin, blir svaret annorlunda? Hur skall jag isåfall veta vilken jag ska substituera?

Svaret blir inte annorlunda.

Sträva efter att få termer av samma sort.

Om du har en sin-term och en cos^2-term så är det naturligt att byta ut cos^2-termen.

Om du har en.cos-term och en sin^2-term så.är det naturligt att byta ut sin^2-termen.

Okej stort tack!

Jag ser fortfarande inte riktigt hur man enkelt kan utreda hur många lösningar ekvationen har. Frågeställningen är ekvivalent med att ta fram antalet nollställen till funktionen,

     $f\left(x\right)={\sin }^2\left(x\right)+\sin \left(x\right)-1,-\pi <x<\pi .$

Variabelbytet $t=\sin \left(x\right)$ ger $f\left(t\right)=t^2+t-1,$ vars rötter är 

     $\left\{\begin{array}{ll}{t}_1& =\frac{\sqrt{5}-1}{2}\\ t_2& =\frac{-\sqrt{5}-1}{2}\end{array}\right.$

vilka inte är snälla trigonometriska värden. Hur avgör man hur många rötter som ges inom intervallet av ekvationerna $x_1={\sin }^{-1}\left(t_1\right)$ och $x_2{\sin }^{-1}\left(t_2\right)?$ Det går att visa med derivata och medelvärdesatsen att $f$ har precis två rötter i det givna intervallet men det blir väldigt kladdigt.

Detta förfarande tror jag absolut inte att man ska behöva ta sig igenom för att lösa en uppgift där endast svar fordras och där inga hjälpmedel är tillåtna.

Enhetscirkeln! Man kan i alla fall något så när enkelt se att t1 men inte t2 ligger i intervallet -1 < t < 1, så att t1 är sinus för någon vinkel (närmare bestämt två olika), men t2 är det inte. Det finns ju inget som kräver att man skall beräkna vinkeln, bara antalet lösningar.

Enklaste sättet att lösa uppgiften är väl att skissa y=tan(x) och y=cos(x) i samma koordinatsystem. Det bör räcka för ett korrekt svar och jag tror uppgiften är tänkt att testa om man kan det. 

SvanteR skrev :

Enklaste sättet att lösa uppgiften är väl att skissa y=tan(x) och y=cos(x) i samma koordinatsystem. Det bör räcka för ett korrekt svar och jag tror uppgiften är tänkt att testa om man kan det. 

Självklart. Där var jag dålig på att läsa uppgiftslydelsen ordentligt.