MaFy prov (Matematik/Allmänna diskussioner)

Den första betyder att du ska leta efter värden på x som är heltal och för vilka olikheten stämmer. Det enklaste är att sätta in några olika värden och testa.

Om man provar med x = -1 ser man att VL blir negativt men HL positivt. Då gäller inte olikheten. Samma gäller för andra negativa heltal, och för 0. Då kan man utesluta alla dem.

Insättning ger att den gäller för x = 1, (8 > 3) så det är en lösning. För x = 2 blir HL = 9, men VL blir < 8, så då gäller den inte. Tittar man ser man att samma kommer att gälla alla större heltal. Så 1 är den enda lösningen.

För cirkeln tolkar jag det som att:

- punkten A är den punkt där cirkeln touchar linjen, men den punkten hade du säkert greppat redan

- punkten P ligger på randen av cirkeln i riktning mot linjen, men "snett" så att den pekar ned mot linjen

- den punkt på linjen som P pekar mot (vinkelrätt mot cirkeln i just punkten P) ligger punkten Q.

Dessa punkter tillsammans ritar ut en triangel, och med längderna där ska du lista ut radien på cirkeln.

Har fortfarande problem att rita upp figuren med hur de menar med punkterna P och Q... menar dom att linjen som P befinner sig på är vinkelrät mot linjen som A befinner sig på? Dvs att A, P och Q bildar en rätvinklig triangel med hypotenusan mellan A och P?

Som jag tolkar det så kan du tänka dig cirkeln som en klocka, där punkten A är klockan 12 och det är där den räta linjen touchar, alltså tangerar, cirkeln/klockan. Vrider du sedan en av klockans visare åt vänster eller höger så kommer den peka på en annan punkt på den räta linjen. Den punkten är Q. Punkten på cirkelns/klockans kant där visaren pekar är punkten P.

Vet inte om bilden blev klarare eller bara ännu konstigare av den liknelsen :)

Ahhh jaa nu blev det mycket klarare, fin beskrivning, men är inte informationen om hur långt ner visaren pekar nödvändig för att räkna ut radien?

MrBoom skrev :
Ahhh jaa nu blev det mycket klarare, fin beskrivning, men är inte informationen om hur långt ner visaren pekar nödvändig för att räkna ut radien?

Jo, enligt min magkänsla, men jag har inte räknat noga och kan ha fel.

Är det en uppgift med öppet svar eller en flervalsfråga? Och vilka är i så fall alternativen?

MrBoom skrev :
Ahhh jaa nu blev det mycket klarare, fin beskrivning, men är inte informationen om hur långt ner visaren pekar nödvändig för att räkna ut radien?

Nej det tror jag inte. Om du ritar upp punkterna så ser du att de nääästan ritar upp en rätvinklig triangel. Om du förlänger PQ med radien r så hamnar du i mittpunkten på cirkeln, och därifrån är det r l.e. till punkten A. Då har du en triangel med sidorna 4 och r, och med hypotenusan 3+r. (jag får r till 7/6 men utan att ha kontrollräknat så får du något annat kan det säkert vara rätt)

foppa skrev :
MrBoom skrev :
Ahhh jaa nu blev det mycket klarare, fin beskrivning, men är inte informationen om hur långt ner visaren pekar nödvändig för att räkna ut radien?
Nej det tror jag inte. Om du ritar upp punkterna så ser du att de nääästan ritar upp en rätvinklig triangel. Om du förlänger PQ med radien r så hamnar du i mittpunkten på cirkeln, och därifrån är det r l.e. till punkten A. Då har du en triangel med sidorna 4 och r, och med hypotenusan 3+r. (jag får r till 7/6 men utan att ha kontrollräknat så får du något annat kan det säkert vara rätt)

OK, jag förstår hur du menar nu. Det kan säkert vara rätt, men om det är rätt så förstår inte jag vad "projiceras vinkelrätt" betyder. Men det är säkert så att jag missförstår det uttrycket.

SvanteR skrev :
foppa skrev :
MrBoom skrev :
Ahhh jaa nu blev det mycket klarare, fin beskrivning, men är inte informationen om hur långt ner visaren pekar nödvändig för att räkna ut radien?
Nej det tror jag inte. Om du ritar upp punkterna så ser du att de nääästan ritar upp en rätvinklig triangel. Om du förlänger PQ med radien r så hamnar du i mittpunkten på cirkeln, och därifrån är det r l.e. till punkten A. Då har du en triangel med sidorna 4 och r, och med hypotenusan 3+r. (jag får r till 7/6 men utan att ha kontrollräknat så får du något annat kan det säkert vara rätt)
OK, jag förstår hur du menar nu. Det kan säkert vara rätt, men om det är rätt så förstår inte jag vad "projiceras vinkelrätt" betyder. Men det är säkert så att jag missförstår det uttrycket.

Nej lite av en språklig överstegsfint tycker jag nog också att det var. Som så ofta är det mer i formuleringen av frågan än i matematiken i sig som klurigheten ligger.

För en bättre visuallisering på problemet. Här kan du se att hypotenusan är $| O Q | = r + 3$ och kateterna är $4$ respektive $r$ . Pythagoras sats ger

$(r + 3)^{2} = 4^{2} + r^{2} \Leftrightarrow 6 r = 7 \Leftrightarrow r = \frac{7}{6} .$

Skapa en tråd per uppgift i fortsättningen. /moderator

Regel 1.5
En tråd ska innehålla en fråga. Mindre delproblem som alla tillhör till samma huvuduppgift kan postas i samma tråd.

Lirim.K skrev :
För en bättre visuallisering på problemet. Här kan du se att hypotenusan är |OQ|=r+3 och kateterna är 4 respektive r. Pythagoras sats ger
(r+3)2=42+r2⇔6r=7⇔r=76.

Kan du förklara vad som är vinkelrätt i den här projektionen? Jag förstår fortfarande inte det

Nej de måste mena vinkelrätt mot den räta linjen.

Då bildas en rätvinklig triangel APQ med kateterna 3 och 4 och hypotenusan 5.

OPA blir då en likbent triangel med sidlängder r, r och 5.

Sidlängden r borde kunna beräknas med hjälp av sinussatsen eftersom vinkeln PAQ är känd och då går det att bestämma vinkeln POA.

Yngve skrev :
Nej de måste mena vinkelrätt mot den räta linjen.
Då bildas en rätvinklig triangel APQ med kateterna 3 och 4 och hypotenusan 5.
OPA blir då en likbent triangel med sidlängder r, r och 5.
Sidlängden r borde kunna beräknas med hjälp av sinussatsen eftersom vinkeln PAQ är känd och då går det att bestämma vinkeln POA.

Så här tänkte jag med först men jag valde att lita på foppas's tolkning. Men hur vet man att vinkeln PAQ är känd?

SvanteR skrev :
Lirim.K skrev :
För en bättre visuallisering på problemet. Här kan du se att hypotenusan är |OQ|=r+3 och kateterna är 4 respektive r. Pythagoras sats ger
(r+3)2=42+r2⇔6r=7⇔r=76.
Kan du förklara vad som är vinkelrätt i den här projektionen? Jag förstår fortfarande inte det

Jag tolkar det som att sträckan PQ är vinkelrät mot tangenten till punkten P.

Lirim.K skrev :
Yngve skrev :
Nej de måste mena vinkelrätt mot den räta linjen.
Då bildas en rätvinklig triangel APQ med kateterna 3 och 4 och hypotenusan 5.
OPA blir då en likbent triangel med sidlängder r, r och 5.
Sidlängden r borde kunna beräknas med hjälp av sinussatsen eftersom vinkeln PAQ är känd och då går det att bestämma vinkeln POA.
Så här tänkte jag med först men jag valde att lita på foppas's tolkning. Men hur vet man att vinkeln PAQ är känd?

Det är ju en egyptisk triangel, så det blir arcsin(3/5).

Yngve skrev :
Nej de måste mena vinkelrätt mot den räta linjen.
Då bildas en rätvinklig triangel APQ med kateterna 3 och 4 och hypotenusan 5.
OPA blir då en likbent triangel med sidlängder r, r och 5.
Sidlängden r borde kunna beräknas med hjälp av sinussatsen eftersom vinkeln PAQ är känd och då går det att bestämma vinkeln POA.

Nu när du säger det Yngve så håller jag med. Projektion av en vektor på ett plan brukar ju alltid vara vinkelrätt mot planet, så på samma sätt blir projektionen av punkten på cirkeln på linjen förstås vinkelrät mot linjen.

MrBoom: vad det betyder är att om du fortfarande tänker dig linjen liggandes på "klockan 12" i min klock-liknelse tidigare och tänker dig punkten P på cirkelns kant som visaren pekar ut, så är den här projektionen som om du skulle lysa en ficklampa rakt underifrån (dvs under den punkten P, vinkelrätt mot linjen) och se vart på linjen skuggan av punkten P hamnar. Det kommer förstås vara rakt ovanför punkten P, på linjen.

Ah okej tror jag förstår, men väldigt udda formulerat av uppgiften tycker jag... :/

Yngve har rätt. Areasatsen sinussatsen på vinklarna som fås i den likbenta triangeln ger

$\frac{\sin (2 \sin^{- 1} (\frac{3}{5}))}{5} = \frac{\sin (\frac{π}{2} - \sin^{- 1} (\frac{3}{5}))}{r}$

vars rot är $r = \frac{25}{6} \approx 4, 1667$ . l.e.

Lirim.K skrev :
Yngve har rätt. Areasatsen på vinklarna som fås i den likbenta triangeln ger
sin2sin-1355=sinπ2-sin-135r
vars rot är r=256≈4,1667. l.e.

Tack Lirim.K för den tydliga bilden och snygga uträkningen. Det var precis så jag tänkte.

Fast det ska vara sinussatsen, inte areasatsen 😉

Ingen orsak Yngve, tack själv för din korrekta tolkning av uppgiften. Ja, tusan då, nu gå det inte längre att redigera inlägget. Någon moderator kanske kan ersätta areasatsen med sinussatsen.

Lirim.K skrev :
Ingen orsak Yngve, tack själv för din korrekta tolkning av uppgiften. Ja, tusan då, nu gå det inte längre att redigera inlägget. Någon moderator kanske kan ersätta areasatsen med sinussatsen.

Inlägget redigerat enligt önskemål. /moderator