MaFy antalet lösningar trig ekvation

Hej!

Eftersom $4 = 2^2$ och $\cos 2x = 1-2\sin^2x$ så kan ekvationen skrivas

    $\displaystyle y^2 - 2y^{-2} + 1 = 0,$

där $y$ betecknar det positiva talet $2^{\sin^2x}.$ Med hjälp av Kvadreringsregeln kan ekvationen skrivas

    $\displaystyle(y+\frac{1}{2y})^2 - \frac{9}{4y^2} = 0.$

Med hjälp av Konjugatregeln kan ekvationen skrivas

    $\displaystyle(y+\frac{2}{y})(y-\frac{1}{y}) = 0.$

Eftersom $y$ är positivt är ekvationen samma sak som ekvationen $y^2 = 1,$vars enda positiva lösning är 1.

Albiki

$$\begin{gathered} Dä va la onödit krånglit? \\ y=2^{2{\sin }^{2}x} \\ y-2y^{-1}+1=0 \\ {y}^2+y-2=0 \\ y=1 \\ 2{\sin }^{2}x=0 \\ 0<x\le \mathrm{\pi } \mathrm{således} x=\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

För att ekvationen ska vara uppfylld måste $sin^2(x)$ anta sitt minsta värde 0 samtidigt som $cos(2x)$ antar sitt största värde 1. Det enda x i intervallet som uppfyller det är $x=\pi$.