MaFy 2024 uppgift 8
Hej!
Jag testade att sätta in z=i i det givna ekvationen az2+bz+c=0 och då fick jag ut -a+bi+c=0 och man kan testa sätta in några värden på a ,b och c där VL blir lika med 0. Tex a=1 , b=i och c=2. När man testar sätta in olika värden på a,b och c i a) så får vi att vänsterledet ej blir lika med 0 som vår referens ekvation och då stämmer a). Men jag vet ej hur jag visar att b) och c) är ekvivalent med Az2+Bz+C=0? Det känns som att mitt angreppssätt är ej passar för denna uppgift. 
Uj, detta var värre än jag trodde:)
Jag tolkar det som att man skall avgöra vilka av påståendena (a)–(d) som är sanna.
Jag kallar az2+bz+c = 0 för ekv (1) och Az2+Bz+C = 0 för ekv (2).
Låt (1) ha lösningen z = u och z = v.
Omm (1) och (2) är ekvivalenta så kan de skrivas a(z–u)(z–v) = 0
respektive A(z–u)(z–v) = 0, dvs A = Ka för något K ≠ 0.
Antag att den icke-reella koefficienten i (1) är r+is.
Ifall vi multiplicerar båda led i (1) med K = (r–is) så får vi en ekvivalent ekv med två icke-reella koeff och en reell koeff. Så (c) är falsk; (2) kan ha precis en reell koeff.
Ifall vi mult båda led i (1) med något annat tal än K = (r–is) så kommer den icke-reella koefficienten att fortfarande vara icke-reell, så (a) är sann; A, B och C kan inte alla vara reella. Dessutom kommer de två reella koefficienterna i (1) också att bli icke-reella (ifall K ej reellt), så alla koefficienter i (2) kan vara icke-reella. Så (b) är falsk; alla koeff i (2) kan vara icke-reella.
Därav följer att (d) är falsk; (1) kan inte vara ekvivalent med (a).
Ursäkta om det blev litet rörigt, hoppas tankegången är begriplig.
Marilyn skrev:Uj, detta var värre än jag trodde:)
Jag tolkar det som att man skall avgöra vilka av påståendena (a)–(d) som är sanna.
Jag kallar az2+bz+c = 0 för ekv (1) och Az2+Bz+C = 0 för ekv (2).
Låt (1) ha lösningen z = u och z = v.Omm (1) och (2) är ekvivalenta så kan de skrivas a(z–u)(z–v) = 0
respektive A(z–u)(z–v) = 0, dvs A = Ka för något K ≠ 0.
Antag att den icke-reella koefficienten i (1) är r+is.
Ifall vi multiplicerar båda led i (1) med K = (r–is) så får vi en ekvivalent ekv med två icke-reella koeff och en reell koeff. Så (c) är falsk; (2) kan ha precis en reell koeff.
Ifall vi mult båda led i (1) med något annat tal än K = (r–is) så kommer den icke-reella koefficienten att fortfarande vara icke-reell, så (a) är sann; A, B och C kan inte alla vara reella. Dessutom kommer de två reella koefficienterna i (1) också att bli icke-reella (ifall K ej reellt), så alla koefficienter i (2) kan vara icke-reella. Så (b) är falsk; alla koeff i (2) kan vara icke-reella.Därav följer att (d) är falsk; (1) kan inte vara ekvivalent med (a).
Ursäkta om det blev litet rörigt, hoppas tankegången är begriplig.
Jag hängde ej med riktigt. Det är många obekanta och jag förstår 0 justnu. Det är mest där
"Antag att den icke-reella koefficienten i (1) är r+is.
Ifall vi multiplicerar båda led i (1) med K = (r–is) så får vi en ekvivalent ekv med två icke-reella koeff och en reell koeff. Så (c) är falsk; (2) kan ha precis en reell koeff.Ifall vi mult båda led i (1) med något annat tal än K = (r–is) så kommer den icke-reella koefficienten att fortfarande vara icke-reell, så (a) är sann; A, B och C kan inte alla vara reella. Dessutom kommer de två reella koefficienterna i (1) också att bli icke-reella (ifall K ej reellt), så alla koefficienter i (2) kan vara icke-reella. Så (b) är falsk; alla koeff i (2) kan vara icke-reella.
Därav följer att (d) är falsk; (1) kan inte vara ekvivalent med (a)."
Jag tänker så här:
Ett komplext tal r+is kan multipliceras med sitt konjugat r–is.
Produkten är det reella r2+s2.
Så om någon av koeff är icke-reell, säg b, så blir produkten efter mult
(r–is)az2 + (r2+s2)z +(r–is)c = 0
Den ekv är ekvivalent med (1) och har precis en reell koeff, vilket visar att (c) är falsk.
PS: jag ser nu att mitt argument för att (a) är sant, det argumentet håller inte helt:
”Ifall vi mult båda led i (1) med något annat tal än K = (r–is) så kommer den icke-reella koefficienten att fortfarande vara icke-reell, så (a) är sann;”
Ska vara:
”Ifall vi mult båda led i (1) med något annat tal än K = t(r–is) (t reellt) så kommer den icke-reella koefficienten att fortfarande vara icke-reell, så (a) är sann; ”
Anm. Jag undrar om uppgiften avsiktligt formulerats så krångligt. – man kan dra slutsatsen att ingen av (a)–(c) inte kan vara … – det blev litet väl många negationer här.
Vi har tre tal, a, b och c. Två av dem är reella och ett ickereellt.
Nu tar vi ett tal k och bildar de tre produkterna A = ka, B = kb och C = kc.
Först vill vi veta om det går att hitta ett k så att A, B och C allihop är reella. Det går inte, för om k är reellt så kommer en produkt att vara ickereell, och om k är ickereellt så kommer en annan produkt att vara ickereell.
Går det att hitta ett k så att alla A till C är ickereella? Ja, vi kan ta något lämpligt ickereellt k. Försök visa det.
Kan vi få två ickereella och en reell produkt? Inte alltid, men om de båda ickereella av a, b, c är samma tal så kan vi låta k vara 1 delat med det.
Laguna skrev:Vi har tre tal, a, b och c. Två av dem är reella och ett ickereellt.
Nu tar vi ett tal k och bildar de tre produkterna A = ka, B = kb och C = kc.
Först vill vi veta om det går att hitta ett k så att A, B och C allihop är reella. Det går inte, för om k är reellt så kommer en produkt att vara ickereell, och om k är ickereellt så kommer en annan produkt att vara ickereell.
Går det att hitta ett k så att alla A till C är ickereella? Ja, vi kan ta något lämpligt ickereellt k. Försök visa det.
Kan vi få två ickereella och en reell produkt? Inte alltid, men om de båda ickereella av a, b, c är samma tal så kan vi låta k vara 1 delat med det.
"Först vill vi veta om det går att hitta ett k så att A, B och C allihop är reella. Det går inte, för om k är reellt så kommer en produkt att vara ickereell, och om k är ickereellt så kommer en annan produkt att vara ickereell."
Hur kan det ej gå? Jag är ej med här. T.ex: K=4 och a=2i , b=4 och c=1 så får vi A=8i , B=16 och C=4. Då är a) ej ekvivalent med 4(2iz^2+4z+1) och sant ?
"Går det att hitta ett k så att alla A till C är ickereella? Ja, vi kan ta något lämpligt ickereellt k. Försök visa det."
Tex om K=4i så får vi A=-8 , B=16i ,C=4i. Då är c) falsk
I a står det att alla tre koefficienterna är reella. Ditt A är inte reellt.
Laguna skrev:I a står det att alla tre koefficienterna är reella. Ditt A är inte reellt.
Ja men jag vet ej vilket a) du menar och jag vet ej om vi förstår varandra. Jag citerade vad du skrev och kommenterade på det. Det går ej att hitta reella koefficienter i a) och det är väl svaret?
Laguna skrev:Vi har tre tal, a, b och c. Två av dem är reella och ett ickereellt.
…
Kan vi få två ickereella och en reell produkt? Inte alltid, men om de båda ickereella av a, b, c är samma tal så kan vi låta k vara 1 delat med det.
Tack Laguna, mycket klarare ansats än min.
Men är det inte alltid möjligt att åstadkomma två icke-reella och en reell produkt? (Annars är ju inte ekvationerna ekvivalenta.)
Antag att a och b är reella och att c = r+is (s ≠ 0). (Vilken som är icke-reell spelar ingen roll.)
Multiplicerar vi med (r–is) så får vi:
A = a(r–is), B = b(r–is), C = r2+s2. A och B är icke-reella, C är reell. Den första ekvationen är ekvivalent med den andra. Eller tänker jag fel?
Marilyn skrev:Laguna skrev:Vi har tre tal, a, b och c. Två av dem är reella och ett ickereellt.
…
Kan vi få två ickereella och en reell produkt? Inte alltid, men om de båda ickereella av a, b, c är samma tal så kan vi låta k vara 1 delat med det.
Tack Laguna, mycket klarare ansats än min.
Men är det inte alltid möjligt att åstadkomma två icke-reella och en reell produkt? (Annars är ju inte ekvationerna ekvivalenta.)
Antag att a och b är reella och att c = r+is (s ≠ 0). (Vilken som är icke-reell spelar ingen roll.)Multiplicerar vi med (r–is) så får vi:
A = a(r–is), B = b(r–is), C = r2+s2. A och B är icke-reella, C är reell. Den första ekvationen är ekvivalent med den andra. Eller tänker jag fel?
Nej, du har rätt. Jag tänkte baklänges, som om vi hade två ickereella från början.
destiny99 skrev:Laguna skrev:I a står det att alla tre koefficienterna är reella. Ditt A är inte reellt.
Ja men jag vet ej vilket a) du menar och jag vet ej om vi förstår varandra. Jag citerade vad du skrev och kommenterade på det. Det går ej att hitta reella koefficienter i a) och det är väl svaret?
Jag menade (a) av de fyra svarsalternativen. Ja, och du gav ett exempel, men med bara exempel kan man inte bevisa något.
Laguna skrev:destiny99 skrev:Laguna skrev:I a står det att alla tre koefficienterna är reella. Ditt A är inte reellt.
Ja men jag vet ej vilket a) du menar och jag vet ej om vi förstår varandra. Jag citerade vad du skrev och kommenterade på det. Det går ej att hitta reella koefficienter i a) och det är väl svaret?
Jag menade (a) av de fyra svarsalternativen. Ja, och du gav ett exempel, men med bara exempel kan man inte bevisa något.
Okej hur ska man bevisa om inga exempel hjälper?
Marilyn skrev:Laguna skrev:Vi har tre tal, a, b och c. Två av dem är reella och ett ickereellt.
…
Kan vi få två ickereella och en reell produkt? Inte alltid, men om de båda ickereella av a, b, c är samma tal så kan vi låta k vara 1 delat med det.
Tack Laguna, mycket klarare ansats än min.
Men är det inte alltid möjligt att åstadkomma två icke-reella och en reell produkt? (Annars är ju inte ekvationerna ekvivalenta.)
Antag att a och b är reella och att c = r+is (s ≠ 0). (Vilken som är icke-reell spelar ingen roll.)Multiplicerar vi med (r–is) så får vi:
A = a(r–is), B = b(r–is), C = r2+s2. A och B är icke-reella, C är reell. Den första ekvationen är ekvivalent med den andra. Eller tänker jag fel?
Vilken första ekvation är ekvivalent med den andra? Varför multiplicerar du med r-is då C är r+is?
destiny99 skrev:
”Vilken första ekvation är ekvivalent med den andra? Varför multiplicerar du med r-is då C är r+is?”
Det har blivit en så lång tråd så jag har inte riktigt koll på var du är vilse. Tar från början:
Att az2+bz+c = 0 (1) är ekvivalent med Az2+Bz+C = 0 (2) innebär att det finns en konstant K så att
A = aK, B = bK och C = cK (och omvänt, om det finns en sådan konstant så är ekvationerna ekvivalenta). Detta är praktiskt, för vi behöver inte bekymra oss om vilken av a, b eller c som är ickereell. Jag kan anta att a och b är reella och att c är ickereell. I så fall kan c skrivas r+is där r och s är reella och s skilt från 0.
r–is kallas komplexkonjugatet till c. Beräknar du (r+is)(r–is) får du enligt konjugatregeln
r2–i2s2 som är r2+s2 eftersom i2 = –1. Alltså är c(r–is) ett reellt tal.
Slutsatsen är att med K = r–is så blir A = aK och B = bK ickereella och C = cK reell, dvs påståendet att ekv (1) inte är ekvivalent med någon ekv (2) som har precis en reell konstant är ett falskt påstående. Alltså är påstående (c) falskt.
(Och det är här det blir onödigt rörigt med logiken i frågan – man kollar och tänker ”JAA det går”, fast påståendet var att det inte gick, så påståendet är falskt.)
Påstående (a) däremot, där går det inte, så det påståendet är sant.
Påstående (b) är också falskt, för om jag multiplicerar a, b och c med t ex K = r+2is så blir alla tre, aK, bK och cK ickereella.
Påstående (d) är egentligen felformulerat, tycker jag. Det är ju en fortsättning av meningen ”Då kan man dra slutsatsen att ekv inte är ekvivalent med någon ekv (2), där – inget av (a)–(c) …”.
Det är inte en svensk mening. Avsikten är förstås att (d) ska ses som ett fristående påstående (som är falskt eftersom (a) var sant).
Som sagt, inte nog med att problemet var knepigt, dessutom är logiken rörig.
destiny99 skrev:Laguna skrev:destiny99 skrev:Laguna skrev:I a står det att alla tre koefficienterna är reella. Ditt A är inte reellt.
Ja men jag vet ej vilket a) du menar och jag vet ej om vi förstår varandra. Jag citerade vad du skrev och kommenterade på det. Det går ej att hitta reella koefficienter i a) och det är väl svaret?
Jag menade (a) av de fyra svarsalternativen. Ja, och du gav ett exempel, men med bara exempel kan man inte bevisa något.
Okej hur ska man bevisa om inga exempel hjälper?
Precis som jag gjorde.
Laguna skrev:destiny99 skrev:Laguna skrev:destiny99 skrev:Laguna skrev:I a står det att alla tre koefficienterna är reella. Ditt A är inte reellt.
Ja men jag vet ej vilket a) du menar och jag vet ej om vi förstår varandra. Jag citerade vad du skrev och kommenterade på det. Det går ej att hitta reella koefficienter i a) och det är väl svaret?
Jag menade (a) av de fyra svarsalternativen. Ja, och du gav ett exempel, men med bara exempel kan man inte bevisa något.
Okej hur ska man bevisa om inga exempel hjälper?
Precis som jag gjorde.
I #5 såg det ej ut som bevis. Jag trodde det var exempel
I #5 såg det ej ut som bevis. Jag trodde det var exempel
Vad var det som gjorde att du inte såg att det var ett bevis? Jag frågar för att vi skall kunna hjälpa dig vidare i ditt matematiska tänkande, inte för att vara tyken. Eftersom Laguna arbetade med godtyckliga konstanter, inte specifika siffror, så gäller resonemanget för alla värden på a, b, c, A, B, C och k, d v s det var ett bevis (men det var ine skrivet på ett särskilt bevis-aktigt sätt).
Smaragdalena skrev:I #5 såg det ej ut som bevis. Jag trodde det var exempel
Vad var det som gjorde att du inte såg att det var ett bevis? Jag frågar för att vi skall kunna hjälpa dig vidare i ditt matematiska tänkande, inte för att vara tyken. Eftersom Laguna arbetade med godtyckliga konstanter, inte specifika siffror, så gäller resonemanget för alla värden på a, b, c, A, B, C och k, d v s det var ett bevis (men det var ine skrivet på ett särskilt bevis-aktigt sätt).
Nu när jag läser om det han skrev så är det ett bevis men jag är ej med på det här stycket samt hur jag ska visa att A-C blir ickereella på grund av att K är icke reellt? Om a=2 , b=3 ,c=i och K=2i så får vi A=4i , B=6i och C= -2. Två konstanter blir ickereella och en blir reellt. Då har vi väl visat alternativ c?
Jag menar denna:
"Kan vi få två ickereella och en reell produkt? Inte alltid, men om de båda ickereella av a, b, c är samma tal så kan vi låta k vara 1 delat med det."
Marilyn kommenterade det, och jag hade tänkt fel.
Det man kan göra här att dividera med det ickereella talet. Då blir det 1 för den koefficienten och de andra två blir ickereella för de var reella förut.
