Mafy 2023 uppgift 8
Hej!
hur ska man tänka här? Varför är ej b) rätt ?
Prova expandera:
Dracaena skrev:Prova expandera:
Det blir z^2-2iz+i^2=z^2-2iz-1. Finns det verkligen ej andra exempel på andragradare där alla koefficienter är icke reella eller någon av dem är reell?
Jo, det gör det väl, men nu såg du varför b inte är rätt.
Laguna skrev:Jo, det gör det väl, men nu såg du varför b inte är rätt.
Asså det här exemplet dracena kom på stämmer för a) men går emot b) och stämmer för c). Alternativ c) säger någon av koefficienterna är reell ,men de säger ingeting om de andra koefficienter är också reella eller icke reella. Alltså behöver man komma på exempel för varje alternativ
Om du vill ge motexempel så räcker det med ett för varje påstående. Men om något påstående alltid är sant så får du bevisa det algebraiskt.
Vilka hittar du motexempel för, mer än b?
Laguna skrev:Om du vill ge motexempel så räcker det med ett för varje påstående. Men om något påstående alltid är sant så får du bevisa det algebraiskt.
Vilka hittar du motexempel för, mer än b?
Vad menas med motexempel? Tex z^2-2iz-4i=0 är ju exakt vad alternativ c) säger . Man kan skapa en för b) också iz^2-2iz-4i=0. Men då stämmer det alla koefficienter är reella men vi får ingen icke reell dubbelrot. I c) får vi icke reell rot men inte riktigt icke-reell dubbelrot
Om man hittar motexempel på alla alternativ a,b och c så är ju saken klar.
Men om något av alternativen a,b eller c är korrekt så funkar ju inte det, det finns helt enkelt inget motexempel på det korrekta alternativet, så det kan vara svårt att välja mellan det korrekta svaret och alternativ d, med hjälp av motexempel.
En alternativ metod är att anta att dubbelroten är x+iy där y är skilt från 0.
Vår ekvation kan då skrivas
a(z-(x+iy))2 = 0 (är du med på varför det är så?)
Om du utvecklar vänsterledet och jämför med ursprungsuttrycket så kanske du kan förstå vilket av alternativen som är det korrekta!
Ture skrev:Om man hittar motexempel på alla alternativ a,b och c så är ju saken klar.
Men om något av alternativen a,b eller c är korrekt så funkar ju inte det, det finns helt enkelt inget motexempel på det korrekta alternativet, så det kan vara svårt att välja mellan det korrekta svaret och alternativ d, med hjälp av motexempel.
En alternativ metod är att anta att dubbelroten är x+iy där y är skilt från 0.
Vår ekvation kan då skrivas
a(z-(x+iy))2 = 0 (är du med på varför det är så?)
Om du utvecklar vänsterledet och jämför med ursprungsuttrycket så kanske du kan förstå vilket av alternativen som är det korrekta!
Nej jag är tyvärr ej med på det.
Ett motexempel till ett påstående är ett exempel som visar att påståendet är falskt.
(z-i)2 har en ickereell dubbelrot, men en koefficient i det expanderade uttrycket z2-2ix-1 är reell. Alltså utgör detta ett motexempel till b.
Laguna skrev:Ett motexempel till ett påstående är ett exempel som visar att påståendet är falskt.
(z-i)2 har en ickereell dubbelrot, men en koefficient i det expanderade uttrycket z2-2ix-1 är reell. Alltså utgör detta ett motexempel till b.
Ok ,så b har motexempel. De andra alternativen då?
destiny99 skrev:Ture skrev:Om man hittar motexempel på alla alternativ a,b och c så är ju saken klar.
Men om något av alternativen a,b eller c är korrekt så funkar ju inte det, det finns helt enkelt inget motexempel på det korrekta alternativet, så det kan vara svårt att välja mellan det korrekta svaret och alternativ d, med hjälp av motexempel.
En alternativ metod är att anta att dubbelroten är x+iy där y är skilt från 0.
Vår ekvation kan då skrivas
a(z-(x+iy))2 = 0 (är du med på varför det är så?)
Om du utvecklar vänsterledet och jämför med ursprungsuttrycket så kanske du kan förstå vilket av alternativen som är det korrekta!
Nej jag är tyvärr ej med på det.
Du kanske kommer ihåg att ett polynom, säg av grad 2, med nollställena x1 och x2 kan skrivas som p(x) = k*(x-x1)(x-x2) ?
i vårt fall är det en dubbelrot så vi kan skriva
p(x) = k(x-x1)2
och roten x1 är ett komplext tal som jag kallade x+yi
När vi utvecklar kvadraten får vi k(x2 osv...), då ser vi att k har samma värde som a i den ekvation uppgiften har gett oss.
Ture skrev:destiny99 skrev:Ture skrev:Om man hittar motexempel på alla alternativ a,b och c så är ju saken klar.
Men om något av alternativen a,b eller c är korrekt så funkar ju inte det, det finns helt enkelt inget motexempel på det korrekta alternativet, så det kan vara svårt att välja mellan det korrekta svaret och alternativ d, med hjälp av motexempel.
En alternativ metod är att anta att dubbelroten är x+iy där y är skilt från 0.
Vår ekvation kan då skrivas
a(z-(x+iy))2 = 0 (är du med på varför det är så?)
Om du utvecklar vänsterledet och jämför med ursprungsuttrycket så kanske du kan förstå vilket av alternativen som är det korrekta!
Nej jag är tyvärr ej med på det.
Du kanske kommer ihåg att ett polynom, säg av grad 2, med nollställena x1 och x2 kan skrivas som p(x) = k*(x-x1)(x-x2) ?
i vårt fall är det en dubbelrot så vi kan skriva
p(x) = k(x-x1)2
och roten x1 är ett komplext tal som jag kallade x+yi
När vi utvecklar kvadraten får vi k(x2 osv...), då ser vi att k har samma värde som a i den ekvation uppgiften har gett oss.
Aa okej ,vad händer sen då?
Eftersom vår ekvation kan skrivas
a(z-(x+iy))2 = 0
Utveckla vänsterledet och jämför med ursprungsekvationen az2+bz +c = 0
Vad gäller då för konstanterna a,b och c?
Ture skrev:Eftersom vår ekvation kan skrivas
a(z-(x+iy))2 = 0
Utveckla vänsterledet och jämför med ursprungsekvationen az2+bz +c = 0
Vad gäller då för konstanterna a,b och c?
(z-x-iy)(z-x-iy)=a(z^2-2zx-2ziy+x^2+2xiy-y^2). Jag ser ej hur vi kan jämföra med az^2+bz+c=0.
efter lite förenkling av ditt resultat får jag
az2+az(-2x-2yi) + a(x+yi)2 ) = 0
Sen identifierar vi termerna
då ser vi att
b = a(-2x-2yi)
c = a(x+yi)2
Kan du utifrån det dra några slutsatser om a, b och c map reella eller icke reella värden?
(man hade kommit fram till samma sak snabbare om man inser att q i pq formeln är rötternas produkt och p är deras summa)
Ture skrev:efter lite förenkling av ditt resultat får jag
az2+az(-2x-2yi) + a(x+yi)2 ) = 0
Sen identifierar vi termerna
då ser vi att
b = a(-2x-2yi)
c = a(x+yi)2
Kan du utifrån det dra några slutsatser om a, b och c map reella eller icke reella värden?
(man hade kommit fram till samma sak snabbare om man inser att q i pq formeln är rötternas produkt och p är deras summa)
Det ser ut som att b är icke reell och även c är det. Dock är a alltid reell.
om a är reell måste b vara icke reell eftersom y är skilt från 0, c blir också reellt i detta fall. c kan vara vilket som.
Edit: skrev fel
om a är icke reellt kan b vara reellt eller icke., samma gäller för c.
Vilket svarsalternativ är därför rätt?
Ture skrev:om a är reell måste b vara icke reell eftersom y är skilt från 0, c blir också reellt i detta fall.
om a är icke reellt kan b vara reellt eller icke., samma gäller för c.
Vilket svarsalternativ är därför rätt?
Jag förstår ej hur du kan säga att b är icke reell och c blir också reelt när a) är reell eller tvärtom när a) är icke reell?
Jag utgår från det här:
b = a(-2x-2yi)
c = a(x+yi)2
1. Anta att a är reellt. då blir b = a(-2x-2yi) icke reelt eftersom y är skilt från 0, vi kommer alltså alltid att ha en imaginär komponent i b.
Vad gäller c skrev jag fel, (inte riktigt sant, jag tänkte fel!) det kan vara både reelt och icke i detta fall.
2. Anta att a är icke reellt då kan b och c vara vilket som
Ture skrev:Jag utgår från det här:
b = a(-2x-2yi)
c = a(x+yi)2
1. Anta att a är reellt. då blir b = a(-2x-2yi) icke reelt eftersom y är skilt från 0, vi kommer alltså alltid att ha en imaginär komponent i b.
Vad gäller c skrev jag fel, (inte riktigt sant, jag tänkte fel!) det kan vara både reelt och icke i detta fall.2. Anta att a är icke reellt då kan b och c vara vilket som
Men hur vet man att c) kan vara både icke reell och reell. Hur ser man det?? Punkt 2 säger du att när a är icke reell så kan både b och c vara vilket som, du menar b och c kan vara reella eller ena är reell och andra är icke reell?
destiny99 skrev:Men hur vet man att c) kan vara både icke reell och reell. Hur ser man det??
Jag menar att det finns inget som hindrar att c är reellt eller icke reellt.
Punkt 2 säger du att när a är icke reell så kan både b och c vara vilket som, du menar b och c kan vara reella eller ena är reell och andra är icke reell?
Samma sak här, om a har en imaginärdel, finns det säkert ett tal a som gör att b blir reellt, ( exvis om a = -2x+2yi ), samma resonemang kan tillämpas på c.
Men det viktiga i den här diskussionen är att konstatera att; hur vi än väljer a, så kommer något eller några av talen a,b och c att vara icke reellt, och att alla tre inte behöver vara det, men alla kan vara det.
Ture skrev:destiny99 skrev:Men hur vet man att c) kan vara både icke reell och reell. Hur ser man det??
Jag menar att det finns inget som hindrar att c är reellt eller icke reellt.
Punkt 2 säger du att när a är icke reell så kan både b och c vara vilket som, du menar b och c kan vara reella eller ena är reell och andra är icke reell?
Samma sak här, om a har en imaginärdel, finns det säkert ett tal a som gör att b blir reellt, ( exvis om a = -2x+2yi ), samma resonemang kan tillämpas på c.
Men det viktiga i den här diskussionen är att konstatera att; hur vi än väljer a, så kommer något eller några av talen a,b och c att vara icke reellt, och att alla tre inte behöver vara det, men alla kan vara det.
Hänger ej med på "Men det viktiga i den här diskussionen är att konstatera att; hur vi än väljer a, så kommer något eller några av talen a,b och c att vara icke reellt, och att alla tre inte behöver vara det, men alla kan vara det."
