mafy 2023 uppgift 16

Om jag gissar att kvoten är 2, då får jag summan 310. Nära men inte tillräckligt.
$\sum_{k = 0}^{y} 5 q^{k} = 320 \Leftrightarrow \frac{5 (q^{y + 1})}{q - 1} = 320$

Jag skulle också kunna tänka mig att vi ska få 320 med en 5:a, det innebär att vi behöver få 64st 5:or vilket i sin tur ger en ny summa
$\sum_{k = 1}^{5} q^{k} = 64 \sum_{k = 1}^{7} q^{k} = 64 \sum_{k = 1}^{?} q^{k} = 64$
Det ger också svåra uttryck att lösa utan miniräknare.

Hur ska man tänka? Ska jag gissa mig fram ?

Det är sista termen som är 320, inte summan.

q^k är tydligen 64. Man borde kunna komma någonstans därifrån.

Jag skulle nog tänka såhär: Den första termen ( $a\cdot k^0$ ) är 5, och den sista, $a\cdot k^n$ , är 320. Det ger oss ekvationen

$\frac{a \cdot k^{n}}{a \cdot k^{0}} = \frac{320}{5} k^{n} = 64$

Summaformeln för en geometrisk summa med n termer är

$S_{n} = \frac{a \cdot (k^{n + 1} - 1)}{k - 1}$

så där kan vi sätta in de värden vi har:

$215 = \frac{5 \cdot (64 \cdot k - 1)}{k - 1}$

Härifrån kan vi hitta k, och därigenom antalet termer i serien. :)

Svara