Mafy 2023 uppgift 10 (Matematik/MaFy (mattedelen))

Det finns två lösningar till cos(x)=-0.5

Tillägg: 11 jul 2023 15:14

OBS! Det andra lösningen är större än pi men subtrahera 2pi så får du en lösning som ligger i intervallet.

Calle_K skrev:
Det finns två lösningar till cos(x)=-0.5

Tillägg: 11 jul 2023 15:14

OBS! Det andra lösningen är större än pi men subtrahera 2pi så får du en lösning som ligger i intervallet.

Hur kan cos(x)=-0,5 ha 2 lösningar? Och varför subtraherar man med 2pi?

cos(x) = cos(-x)

Titta på enhetscirkeln.

Laguna skrev:
cos(x) = cos(-x)

Titta på enhetscirkeln.

Ja men nu har vi cos(x)= -0,5. Betyder det att det är samma sak som cos(x)=cos(-pi/3)= -0,5?

Ekvationen har tre lösningsmängder:

$x_1=n\cdot2\pi$
$x_2=\frac{2\pi}{3}+n\cdot2\pi$
$x_3=-\frac{2\pi}{3}+n\cdot2\pi$

Säg till om du vill ha ytterligare förklaring av detta.

Om du väljer n = 0 ur första lösningsmängden får du lösningen $x = 0$ som ligger i det angivna intervallet. Alla andra värden på n ger lösningar utanför intervallet.

Om du väljer n = 0 ur andra lösningsmängden får du lösningen $x=\frac{2\pi}{3}$ som ligger i det angivna intervallet. Alla andra värden på n ger lösningar utanför intervallet.

Om du väljer n = 0 ur tredje lösningsmängden får du lösningen $x=-\frac{2\pi}{3}$ som ligger i det angivna intervallet. Alla andra värden på n ger lösningar utanför intervallet.

Alltså finns det tre lösningar i det givna intervallet.

Yngve skrev:
Ekvationen har tre lösningsmängder:

$x_1=n\cdot2\pi$

$x_2=\frac{2\pi}{3}+n\cdot2\pi$

$x_3=-\frac{2\pi}{3}+n\cdot2\pi$

Säg till om du vill ha ytterligare förklaring av detta.

Om du väljer n = 0 ur första lösningsmängden får du lösningen $x = 0$ som ligger i det angivna intervallet. Alla andra värden på n ger lösningar utanför intervallet.

Om du väljer n = 0 ur andra lösningsmängden får du lösningen $x=\frac{2\pi}{3}$ som ligger i det angivna intervallet. Alla andra värden på n ger lösningar utanför intervallet.

Om du väljer n = 0 ur tredje lösningsmängden får du lösningen $x=-\frac{2\pi}{3}$ som ligger i det angivna intervallet. Alla andra värden på n ger lösningar utanför intervallet.

Alltså finns det tre lösningar i det givna intervallet.

Jaha men jag vill ha en ytterligare förklaring på hur du fick fram x3=-2pi/3? Är det för att cos(-2pi/3)=cos(2pi/3) ?

destiny99 skrev:

Jaha men jag vill ha en ytterligare förklaring på hur du fick fram x3=-2pi/3? Är det för att cos(-2pi/3)=cos(2pi/3) ?

Ja, det stämmer.

Använd gärna enhetscirkeln för att se att sambandet $\cos(v)=\cos(-v)$ alltid gäller.

Passa då även på att hitta sambandet $\sin(v)=\sin(\pi-v)$

Yngve skrev:
destiny99 skrev:

Jaha men jag vill ha en ytterligare förklaring på hur du fick fram x3=-2pi/3? Är det för att cos(-2pi/3)=cos(2pi/3) ?

Ja, det stämmer.

Använd gärna enhetscirkeln för att se att sambandet $\cos(v)=\cos(-v)$ alltid gäller.

Passa då även på att hitta sambandet $\sin(v)=\sin(\pi-v)$

Ja jag såg en video om detta. Klargjorde en del iaf! Tack för hjälpen!