Mafy 2022 Uppgift 9

Jag har problem med att lösa följande uppgift:

Givet är ekvationen $2 x^2+x+p=0$ , där $p$ är ett negativt reellt tal. För ekvationen gäller då att

(a) den har två olika icke-reella lösningar;

(b) den har två reella lösningar med olika tecken;

(c) den har två reella lösningar med samma tecken;

(d) inget av (a)-(c) behöver gälla generellt.

Jag har försökt lösa uppgiften genom att använda formeln för att beräkna diskriminanten, $\Delta = b^2-4ac$ . Om $\Delta > 0$ har ekvationen två reella lösningar, om $\Delta = 0$ har ekvationen en reell lösning, och om $\Delta < 0$ har ekvationen två icke-reella lösningar.

Men jag vet inte hur jag kan använda denna formel för att svara på frågan om ekvationen har två reella lösningar med samma eller olika tecken, eller två icke-reella lösningar. Vilken metod kan jag använda för att lösa denna uppgift? Tack på förhand för hjälpen!

Samma fråga är besvarad här

Yngve skrev:
Samma fråga är besvarad här

Tänker om p är ett negativt tal så är det som står under rottecknet positivt. Alltså kan vi stryka (a). Så vi får 2 fall, antingen är D = 0 eller D > 0. Diskriminanten borde bli större än 1/4 eftersom p var negativt. Diskriminanten är:

$D=\sqrt{\left( \frac{\frac{1}{2} }{2} \right)^{2} -\frac{p}{2} } \Leftrightarrow \sqrt{\frac{1-8p}{16} }$

Eftersom p är ett negativt tal så får vi -(-) = +, således kommer vi få en dubbelrot som lösning med sammantaget två olika tecken.

Vad tycker ni om min resonemang här?

Dani163 skrev:

Tänker om p är ett negativt tal så är det som står under rottecknet positivt.

Det stämmer, men du bör visa att det är så.

Alltså kan vi stryka (a). Så vi får 2 fall, antingen är D = 0 eller D > 0.

Nej, vi har bara ett fall, nämligen D > 0.

Diskriminanten borde bli större än 1/4 eftersom p var negativt. Diskriminanten är:

$D=\sqrt{\left( \frac{\frac{1}{2} }{2} \right)^{2} -\frac{p}{2} } \Leftrightarrow \sqrt{\frac{1-8p}{16} }$

Nej, diskriminanten D är det som står under rotenur-tecknet.

Vi har alltså att $x=-\frac{1}{4}\pm\sqrt{D}$

Eftersom p är ett negativt tal så får vi -(-) = +, således kommer vi få en dubbelrot som lösning med sammantaget två olika tecken.

Vad tycker ni om min resonemang här?

På slutet bör du tydligare visa att $\sqrt{D}>\frac{1}{2}$ och påvisa att det leder till att rötterna har olika tecken.

Yngve skrev:

Alltså kan vi stryka (a). Så vi får 2 fall, antingen är D = 0 eller D > 0.

Nej, vi har bara ett fall, nämligen D > 0.

Ja du har rätt, då vi inte subtraherar p ifrån 1/16 under rottecknet, eftersom p adderas till 1/16.

Diskriminanten borde bli större än 1/4 eftersom p var negativt. Diskriminanten är:

$D=\sqrt{\left( \frac{\frac{1}{2} }{2} \right)^{2} -\frac{p}{2} } \Leftrightarrow \sqrt{\frac{1-8p}{16} }$

Nej, diskriminanten D är det som står under rotenur-tecknet.

Japp, jag var bara otydlig med att visa det. Jag menade inte att D var roten, t.ex. x₁eller x₂.

Vi har alltså att $x=-\frac{1}{4}\pm\sqrt{D}$

Så att vi får en lösning med olika tecken kommer ifrån att D > 0 ifrån ± tecknet framför rottecknet?

[1] På slutet bör du tydligare visa att $\sqrt{D}>\frac{1}{2}$ och [2] påvisa att det leder till att rötterna har olika tecken.

[1] Osäker på hur detta ska göras. [2] Är detta inte bara ifrån faktumet att ±√(D>0)?

Svara

Visa senaste svar