Mafy 2022 Uppgift 9

Newtons grav lag + cirkulär rörelse kan du använda.

Grav kraften ökar prop med massan och minska kvaratiskt ned avståndet

Sen får du fundera på hur centrip kraften påverkas och därmed tiden

Ture skrev:

Newtons grav lag + cirkulär rörelse kan du använda.

Grav kraften ökar prop med massan och minska kvaratiskt ned avståndet

Sen får du fundera på hur centrip kraften påverkas och därmed tiden

Jag undrar om du skulle kunna förklara hur jag skulle kunna använda Newtons gravitationslag och cirkulär rörelse för att lösa denna uppgift. Jag förstår att gravitationskraften ökar proportionellt med massan och minskar kvadratiskt med avståndet, men jag är osäker på hur jag kan använda detta för att hitta månens nya omloppstid.

Hur stor är centripetalkraften sfa radien och omloppstiden? 

Ture skrev:

Hur stor är centripetalkraften sfa radien och omloppstiden? 

Centripetalkraften är den kraft som är nödvändig för att hålla ett föremål i cirkulär rörelse. Dess storlek beror på radie och omloppstid enligt följande formel:
$F_c=\frac{m v^2}{r}$
där $F_c$ är centripetalkraften, $m$ är föremålets massa, $v$ är hastigheten och $r$ är radien.

Behöver vi dock inte mer information än så? Vi har redan fått information om jordens massa, månens massa och avståndet mellan dem, men vi behöver också veta något om hastigheten eller omloppstiden för att kunna använda formeln för centripetalkraft.

Det är omloppstiden man frågar efter, skriv om formeln så du får tiden istället för hastigheten! 

Ture skrev:

Det är omloppstiden man frågar efter, skriv om formeln så du får tiden istället för hastigheten! 

Kan man tänka såhär?  Jag ställlde upp uttryck för omloppstiden. 

Vi kan ju säga att alla är konstanter så kvar har vi bara sqrt(1/4)=1/2 =T

Låt oss fortsätt där trådskaparen var: Rent generellt för cirkulär rörelse gäller att

F_c = mv²/r , eftersom v = 2pi*r/T

Blir F_c = m*4pi*r²/(T² *r)

=> T² = 4mpi*r/F_c

Där F_c är centripetalkraften
m är föremålets massa
v är föremålets hastighet
r är banradien
T är omloppstiden

I inlägg 2 resonerade jag kring Newtons gravlag, att F_g ökar prop med massan och minskar prop mot avståndet i kvadrat

Alltså är F_g i vår nya verkligehet 2ggr större och 4 ggr mindre dvs totalt hälften mot vad den var tidigare 

(gravlagen säger F_g =  G*m*M/r²
där G är en konstant
m är ena kroppens massa
M är den andra kroppens massa
F_g är gravitationskraften
r är avståndet mellan kropparnas masscentrum) 

Nu sammanställer vi det här,

Kalla gamla månmassan för m och gamla banradien för r, gamla omloppstiden för t och nya omloppstiden för T, den gamla gravitationskraften för f.)

ekv 1: t² = 1 = 4mpi*r/f

ekv 2: T² = 4mpi*(2r)/(f/2) = 16m*pi*r/f

 Delar ekv 2 med ekv 1 ledvis

T²/t² = 4, eftersom t = 1 månad blir T = $\sqrt{4}$ = 2 månader

Ture skrev:

Det är omloppstiden man frågar efter, skriv om formeln så du får tiden istället för hastigheten! 

Omloppstiden för månen i vanliga fall vet vi ju. Och avståndet från jorden. Så det måste gå att uttrycka omloppstiden mha cirkulär rörelse + newtons gravitationslag. Och har man väl det kan man säkert använda Keplers 3:e lag för att få ut den nya tiden, eftersom T^2/r^3 ska hålla för alla kroppar som går runt en viss punkt. 

Ska skissa lite på det och se om jag kommer någon vart.

Centripetalacceleration beskriver accelerationen som ett objekt behöver för att hålla sig på sin cirkulära bana. Centripetalaccelerationen kan beskrivas matematiskt som a = v^2/r, där v är hastigheten och r är avståndet från punkten som objektet cirkulerar runt.

Om man köper just det, att man ersätter accelerationen a med v^2/r: Då har man att kraften är F = m(v^2)/r, sedan ersätter man den tangentiella hastigheten v med ett annat uttryck: v = 2*pi*r/T, där T är omloppstiden. Det uttrycket bygger på att hastighet = sträcka/(tid det tar att färdas sträckan).

(2*pi*r) är sträckan runt en cirkel med radie r. Och T är omloppstiden (exv en månad, för månen). Så det blir ju sträcka/tid = hastighet. Då kan man sätta in det istället för v i formeln F = m(v^2)/r, så att vi får F = m((2*pi*r)^2)/(r*(T^2)), där v = 2*pi*r/T gör att v^2 = (2*pi*r)^2/T^2.

Så vi har gått från F = ma, 1) ersatt accelerationen med uttrycket för centripetalacceleraition 2) ersatt hastigheten i centripetalaccelerationen med sträcka/tid för en cirkulär rörelse. Nästa steg är att konstatera detta: Vi vet redan vad F är, eftersom vi har Newtons gravitationslag.

F = G*M*m/r^2

Så det går att säga såhär: F = (2*pi*r)^2/T^2 = G*M*m/r^2

Vi vill ha upp T^2 från nämnaren, så vi multiplicerar med det. Då får vi

(T^2)*F = m((2*pi*r)^2)/r

Sen dividerar vi med F för att få T^2 ensamt i vänsterledet

(T^2) = m((2*pi*r)^2)/r*F

Då har vi ett uttryck för omloppstiden. Nu måste vi bara komma på ett sätt att på ett tydligt sätt se vad som händer med T om vi i högerledet gör jordens massa dubbelt så stor och avståndet till månen dubbelt så stort.

Vi vet att (T^2) = m((2*pi*r)^2)/r*F, och vi vet att F beskrivs av Newtons gravitationslag, F = G*M*m/r^2.

Vi kan slå ihop det till ett enda uttryck. Det blir lite krånligt, men det är så jag skulle ha löst det. Vi får att:

(T^2) = m((2*pi*r)^2)/r*F = m((2*pi*r)^2)/r*(G*M*m/r^2)

Snyggar man till det lite får vi såhär: (T^2)= 4*(pi^2)*(r^3)/(G*M)

Jag tänker såhär: Om vi kallar högerledet för någonting, exv "A", så vi har T^2 = 4*(pi^2)*(r^3)/(G*M) = A

Då kommer vi ifall vi ändrar massan och radien att få T^2 = 4*A

Dvs uttrycket förändras inte, annat än att vi kan se att det är 4 ggr större. Så T blir 2 ggr större är svaret, om massan på jorden fördubblas och radien fördubblas.

Kepplers 3a gäller för kroppar som cirkulerar runt en och samma kropp, dvs solen. 

Men om du ändrar centrumkroppens massa gäller visserligen fortfarande kepplers 3a, men bara i den nya situationen.