Mafy 2022 Uppgift 6

Dani163 skrev:

Varför kan jag inte bara använda $\Delta E = hc/\Delta\lambda$, där $\Delta\lambda$ är skillnaden i våglängderna för de två övergångarna?

Det gäller ju inte.

Däremot gäller i mycket bra approximation att $\dfrac{{\rm \Delta}E}{E} = \dfrac{{\rm \Delta}\lambda}{\lambda}.$

Det nämns i frågan att våglängderna för övergångarna från $2p_{3/2}$ och $2p_{1/2}$ till $1s$ tillståndet i väteatomen skiljer sig åt i femte decimalen. Detta innebär att skillnaden i våglängd mellan de två övergångarna är mycket liten, och därmed är också skillnaden i energierna mellan de två tillstånden mycket liten.

Energin för en foton ges av

$\displaystyle E(\lambda)=\frac{hc}{\lambda}$

Differentialen av skalären $E$ är

$\displaystyle dE=\frac{\partial E}{\partial \lambda}d\lambda=-\frac{hc}{\lambda^2}d\lambda=-\frac{hc}{\lambda}\frac{d\lambda}{\lambda}=-E\frac{d\lambda}{\lambda}$

Med insatta värden får vi

$\displaystyle dE\approx 10eV \cdot \frac{0.0006\mathrm{nm}}{122\mathrm{nm}}\approx 5 \cdot 10\cdot 10^{-4}\cdot 10^{-2}\approx 5\cdot 10^{-5}\mathrm{eV}$

Man kan faktiskt strunta i de gällande siffrorna och ändå klura ut vilket svarsalternativ som gäller eftersom det enda man behöver göra är att träffa rätt på några tiopotenser när.

D4NIEL skrev:

Energin för en foton ges av

$\displaystyle E(\lambda)=\frac{hc}{\lambda}$

Differentialen av skalären $E$ är

$\displaystyle dE=\frac{\partial E}{\partial \lambda}d\lambda=-\frac{hc}{\lambda^2}d\lambda=-\frac{hc}{\lambda}\frac{d\lambda}{\lambda}=-E\frac{d\lambda}{\lambda}$

Med insatta värden får vi

$\displaystyle dE\approx 10eV \cdot \frac{0.0006\mathrm{nm}}{122\mathrm{nm}}\approx 5 \cdot 10\cdot 10^{-4}\cdot 10^{-2}\approx 5\cdot 10^{-5}\mathrm{eV}$

Man kan faktiskt strunta i de gällande siffrorna och ändå klura ut vilket svarsalternativ som gäller eftersom det enda man behöver göra är att träffa rätt på några tiopotenser när.

Varför kan man ej köra på det här sättet nedan och varför delar man med vågländerna ?

Om man har tillgång till en räknare eller en dator kan man göra så. Men på det här provet är räknare inte ett tillåtet hjälpmedel . Skillnaden mellan $1/121.5668$ och $1/121.5674$ är inte jättestor.

Ska man använda huvudräkning och enkla överslag är det fördelaktigt att studera differentialen (tycker jag). Testa att räkna på båda sätt och se om du själv upplever någon skillnad.

D4NIEL skrev:

Om man har tillgång till en räknare eller en dator kan man göra så. Men på det här provet är räknare inte ett tillåtet hjälpmedel . Skillnaden mellan $1/121.5668$ och $1/121.5674$ är inte jättestor.

Ska man använda huvudräkning och enkla överslag är det fördelaktigt att studera differentialen (tycker jag). Testa att räkna på båda sätt och se om du själv upplever någon skillnad.

Aa jag förstår. Men jag får tyvärr 0 när jag avrundar till 122 så delta E= 1/122-1/22*hc.   Differentialmetoden förstod jag ej riktigt. 

destiny99 skrev:

Differentialmetoden förstod jag ej riktigt. 

Det går bra med $c_0=f \lambda.$ Det innebär att om våglängden är en procent längre måste frekvensen (och energin) vara en procent mindre, i bra approximation.

Så använd bara att $\dfrac{{\rm \Delta} E}{E} = \dfrac{{\rm \Delta}\lambda}{\lambda}.$

Pieter Kuiper skrev:

destiny99 skrev:

Differentialmetoden förstod jag ej riktigt. 

Det går bra med $c_0=f \lambda.$ Det innebär att om våglängden är en procent längre måste frekvensen (och energin) vara en procent mindre, i bra approximation.

Så använd bara att $\dfrac{{\rm \Delta} E}{E} = \dfrac{{\rm \Delta}\lambda}{\lambda}.$

Men lambda nämnaren ,är det då första våglängden? Alltså 121,5668-121,5674/121,5668?

destiny99 skrev:

Men lambda nämnaren ,är det då första våglängden? Alltså 121,5668-121,5674/121,5668?

Det spelar (nästan) ingen roll. Här kan det duga med att skriva 120 nm. Eller 100 nm.

Pieter Kuiper skrev:

destiny99 skrev:

Differentialmetoden förstod jag ej riktigt. Det går bra med $c_0=f \lambda.$ Det innebär att om våglängden är en procent längre måste frekvensen (och energin) vara en procent mindre, i bra approximation.

$\dfrac{{\rm \Delta} E}{E} = \dfrac{{\rm \Delta}\lambda}{\lambda}.$

Är detta en korrekt härledning av formeln?

Fotoners energi $E=hc/\lambda$, där $h$ är Plancks konstant, $c$ är ljusets hastighet och $\lambda$ är fotonens våglängd.

Vi antar att en foton emitteras från ett atomärt eller molekylärt system i en övre energinivå med energin $E_2$ och sedan övergår till en lägre energinivå med energin $E_1$ genom att utsända en foton med våglängden $\lambda$. Då kan vi uttrycka skillnaden i energi mellan de två nivåerna som $\Delta E = E_2 - E_1$.

Från formeln för fotoners energi kan vi skriva om detta som $\Delta E = hc/\lambda_2 - hc/\lambda_1$. Vi bryter ut hc:

$\Delta E = hc \cdot (\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2})$

Därefter kan vi dela båda sidor av ekvationen med $E_2$ eller $E_1$ och ersätta $\Delta E$ med $E_2 - E_1$:

$\frac{E_2 - E_1}{E_2} = \frac{hc}{\lambda_2 E_2} - \frac{hc}{\lambda_1 E_2}$

Här blev jag dock osäker på hur man skulle fortsätta.

Dani163 skrev:

Pieter Kuiper skrev:

Visa föregående citat

destiny99 skrev:

Differentialmetoden förstod jag ej riktigt. Det går bra med $c_0=f \lambda.$ Det innebär att om våglängden är en procent längre måste frekvensen (och energin) vara en procent mindre, i bra approximation.

$\dfrac{{\rm \Delta} E}{E} = \dfrac{{\rm \Delta}\lambda}{\lambda}.$

Är detta en korrekt härledning av formeln?

Fotoners energi $E=hc/\lambda$, där $h$ är Plancks konstant, $c$ är ljusets hastighet och $\lambda$ är fotonens våglängd.

Vi antar att en foton emitteras från ett atomärt eller molekylärt system i en övre energinivå med energin $E_2$ och sedan övergår till en lägre energinivå med energin $E_1$ genom att utsända en foton med våglängden $\lambda$. Då kan vi uttrycka skillnaden i energi mellan de två nivåerna som $\Delta E = E_2 - E_1$.

Från formeln för fotoners energi kan vi skriva om detta som $\Delta E = hc/\lambda_2 - hc/\lambda_1$. Vi bryter ut hc:

$\Delta E = hc \cdot (\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2})$

Därefter kan vi dela båda sidor av ekvationen med $E_2$ eller $E_1$ och ersätta $\Delta E$ med $E_2 - E_1$:

$\frac{E_2 - E_1}{E_2} = \frac{hc}{\lambda_2 E_2} - \frac{hc}{\lambda_1 E_2}$

Här blev jag dock osäker på hur man skulle fortsätta.

Ska det ej vara delat med E1 ( E2-E1/E1) och sen lambda2-lambda1/lambda1?

destiny99 skrev:

Dani163 skrev:

Visa föregående citat

Pieter Kuiper skrev:

destiny99 skrev:

Differentialmetoden förstod jag ej riktigt. Det går bra med $c_0=f \lambda.$ Det innebär att om våglängden är en procent längre måste frekvensen (och energin) vara en procent mindre, i bra approximation.

$\dfrac{{\rm \Delta} E}{E} = \dfrac{{\rm \Delta}\lambda}{\lambda}.$

Är detta en korrekt härledning av formeln?

Fotoners energi $E=hc/\lambda$, där $h$ är Plancks konstant, $c$ är ljusets hastighet och $\lambda$ är fotonens våglängd.

Vi antar att en foton emitteras från ett atomärt eller molekylärt system i en övre energinivå med energin $E_2$ och sedan övergår till en lägre energinivå med energin $E_1$ genom att utsända en foton med våglängden $\lambda$. Då kan vi uttrycka skillnaden i energi mellan de två nivåerna som $\Delta E = E_2 - E_1$.

Från formeln för fotoners energi kan vi skriva om detta som $\Delta E = hc/\lambda_2 - hc/\lambda_1$. Vi bryter ut hc:

$\Delta E = hc \cdot (\frac{1}{\lambda_1} - \frac{1}{\lambda_2})$

Därefter kan vi dela båda sidor av ekvationen med $E_2$ eller $E_1$ och ersätta $\Delta E$ med $E_2 - E_1$:

$\frac{E_2 - E_1}{E_2} = \frac{hc}{\lambda_2 E_2} - \frac{hc}{\lambda_1 E_2}$

Här blev jag dock osäker på hur man skulle fortsätta.

Ska det ej vara delat med E1 ( E2-E1/E1) och sen lambda2-lambda1/lambda1?

Ja, det låter mer korrekt.

Dani163 skrev:

Pieter Kuiper skrev:
Det går bra med $c_0=f \lambda.$ Det innebär att om våglängden är en procent längre måste frekvensen (och energin) vara en procent mindre, i bra approximation.

$\dfrac{{\rm \Delta} E}{E} = \dfrac{{\rm \Delta}\lambda}{\lambda}.$

Är detta en korrekt härledning av formeln?

Fotoners energi $E=hc/\lambda$, där $h$ är Plancks konstant, $c$ är ljusets hastighet och $\lambda$ är fotonens våglängd.

Vi antar att en foton emitteras [...]

Detta beror inte alls på atomära energinivåer osv.

Om produkt av tryck och volym $pV$ är konstant innebär det att om man minskar volymen med en procent då går trycket upp med en procent.

Det är enkla räkneregler som man brukade använda vid huvudräkning. Ja, man kan göra det med matematik och serieutveckla $\dfrac{1}{1+x} \approx 1-x$ om $x \ll 1$ osv.

Men det här är fysik som går ut på att snabbt välja bort felaktiga svar. Hur matematiskt korrekt det är behöver man inte bry sig om.

Pieter Kuiper skrev:

Det är enkla räkneregler som man brukade använda vid huvudräkning. Ja, man kan göra det med matematik och serieutveckla $\dfrac{1}{1+x} \approx 1-x$ om $x \ll 1$ osv.

Jag vet inte vad du syftar på här, pratar vi om härledningen av $\frac{\Delta E}{E}=\frac{\Delta \lambda}{\lambda}$?

Apropå funktionen som du approximerade, om x är mycket mindre än 1, betyder det inte då att vi får 1/1 = 1, då x är negligerbar i  bråket. 

Jag har inte hunnit så långt att ha lärt mig om "serieutveckling" än.

Dani163 skrev:

Jag har inte hunnit så långt att ha lärt mig om "serieutveckling" än.

Min poäng var att man inte behöver serieutveckling för att veta att $\dfrac{1}{1,\!003} \approx 0,\!997$ osv.

Det var sådana räkneregler som vi brukade använda innan miniräknare.

I inlägg #11 har ni kommit fram till att

$\Delta E= hc\left(\frac{1}{\lambda_2}- \frac{1}{\lambda_1}\right)$

Som det står är uttrycket lite tråkigt att hantera med huvudräkning, men vi kan skriva om det. Först sätter vi allt på ett gemensamt bråkstreck:

$\Delta E=hc\left(\frac{\lambda_1-\lambda_2}{\lambda_1\lambda_2}\right)$

Med $\Delta\lambda=\lambda_2-\lambda_1$ alltså

$\Delta E = hc\left(\frac{-\Delta\lambda}{\lambda_1\lambda_2}\right)$

Nu gäller det att inse att det faktiskt inte spelar så stor roll om vi delar med 121.5668 eller 121.5674 i nämnaren.. Vi ersätter helt enkelt $\lambda_1\approx \lambda_2\approx \lambda$ i nämnaren, t.ex. $\lambda =120\mathrm{nm}$

$\Delta E \approx -hc\left(\frac{\Delta \lambda}{\lambda^2}\right)$

Slutligen kommer vi ihåg att $E=\frac{hc}{\lambda}$ varvid

$\Delta E \approx -E\frac{\Delta \lambda}{\lambda}$

D4NIEL skrev:

Slutligen kommer vi ihåg att $E=\frac{hc}{\lambda}$ varvid

$\Delta E \approx -E\frac{\Delta \lambda}{\lambda}$

Okej, så med följande våglängder:
$\lambda_1 = 121.5668 nm$ för övergång från tillståndet $2p_{3/2}$ till $1s$-tillståndet.
$\lambda_2 = 121.5674 nm$ för övergång från tillståndet $2p_{1/2}$ till $1s$-tillståndet.

Använder vi ekvationen från citatet:
$\Delta E \approx -E \frac{\Delta \lambda}{\lambda}$
där $E = hc/\lambda$ är energin för en foton med våglängd $\lambda$ och $h$ och $c$ är Plancks konstant respektive ljusets hastighet i vakuum. Våglängdsdifferensen är $\Delta \lambda = \lambda_2 - \lambda_1 \approx 0.0006 nm$. Sedan sätter vi in värdena i ekvationen:

Tänkte du att förenklingen skulle se ut något i den stilen?

Slår jag in det i Wolfram Alpha får jag följande: 

Och:

Dani163 skrev:

Använder vi ekvationen från citatet:
$\Delta E \approx -E \frac{\Delta \lambda}{\lambda}$ 

Tänkte du att förenklingen skulle se ut något i den stilen?

Slår jag in det i Wolfram Alpha får jag följande: 

Det blir för komplicerat. Dessa uppgifter ska lösas utan Wolfram eller miniräknare.

Så $\dfrac{{\rm \Delta}\lambda}{\lambda} \approx \dfrac{0,\!0006\ {\rm nm}}{120\ {\rm nm}} = 5\cdot 10^{-6}.$

Sedan behöver man fotonernas energi i eV, eller i alla fall dess storleksordning. Ljus (synligt och UV) har fotonenergier på enstaka eV och det räcker då för att välja rätt svar.

Lite mer exakt vet man kanske att ionisationsenergi av väte är 13,6 eV och att övergången från n=2 till n=1 har då en energi $13,\!6(\frac{1}{1}-\frac{1}{2^2}) = \frac{3}{4}\times 13,\!6 \approx 10 \ {\rm eV}.$

Så att rätt svar är alternativ B.