MAFY 2022 uppgift 6 (Matematik/MaFy (mattedelen))

Jag får det till detta: Du kan kvadratkomplettera uttrycket $x^2+xy+y^2=(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}y^2$ . Eftersom det är summan av två kvadrattermer (och alla inblandade x och y är reella) kommer detta uttryck vara större eller lika med 0, och likheten gäller när både $\frac{3}{4}y^2=0$ och $(x+\frac{y}{2})^2$ är 0. Vilket vi kan konstatera sker endast när x=y=0. Så om vi vet att uttrycket är strikt större än 0 kommer minst en av x och y vara 0-skilt, så a) kommer gälla.

Hondel skrev:
Jag får det till detta: Du kan kvadratkomplettera uttrycket $x^2+xy+y^2=(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}y^2$ . Eftersom det är summan av två kvadrattermer (och alla inblandade x och y är reella) kommer detta uttryck vara större eller lika med 0, och likheten gäller när både $\frac{3}{4}y^2=0$ och $(x+\frac{y}{2})^2$ är 0. Vilket vi kan konstatera sker endast när x=y=0. Så om vi vet att uttrycket är strikt större än 0 kommer minst en av x och y vara 0-skilt, så a) kommer gälla.

Hm jag hänger ej med tyvärr

Mahiya99 skrev:
Hondel skrev:
Jag får det till detta: Du kan kvadratkomplettera uttrycket $x^2+xy+y^2=(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}y^2$ . Eftersom det är summan av två kvadrattermer (och alla inblandade x och y är reella) kommer detta uttryck vara större eller lika med 0, och likheten gäller när både $\frac{3}{4}y^2=0$ och $(x+\frac{y}{2})^2$ är 0. Vilket vi kan konstatera sker endast när x=y=0. Så om vi vet att uttrycket är strikt större än 0 kommer minst en av x och y vara 0-skilt, så a) kommer gälla.

Hm jag hänger ej med tyvärr

Vilken del hänger du inte med på?

a^2+ab+b^2>0 inebär bara att a^2+b^2 är inte lika med 0. För b) beträkta a=0 och b=-1 för att see att afyrkantb>0 . För c) om a=1 b=-1 men a+b=0 och afyrkantb>0

Davitk skrev:
a^2+ab+b^2>0 inebär bara att a^2+b^2 är inte lika med 0. För b) beträkta a=0 och b=-1 för att see att afyrkantb>0 . För c) a+b=-1 men afyrkantb>0

Hur menar du?

Hondel skrev:
Mahiya99 skrev:
Hondel skrev:
Jag får det till detta: Du kan kvadratkomplettera uttrycket $x^2+xy+y^2=(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}y^2$ . Eftersom det är summan av två kvadrattermer (och alla inblandade x och y är reella) kommer detta uttryck vara större eller lika med 0, och likheten gäller när både $\frac{3}{4}y^2=0$ och $(x+\frac{y}{2})^2$ är 0. Vilket vi kan konstatera sker endast när x=y=0. Så om vi vet att uttrycket är strikt större än 0 kommer minst en av x och y vara 0-skilt, så a) kommer gälla.

Hm jag hänger ej med tyvärr

Vilken del hänger du inte med på?

Hela kvadrat komplettering samt ditt resonemang. Jag försöker se om man kan lösa uppgiften på annat sätt

Mahiya99 skrev:
Davitk skrev:
a^2+ab+b^2>0 inebär bara att a^2+b^2 är inte lika med 0. För b) beträkta a=0 och b=-1 för att see att afyrkantb>0 . För c) a+b=-1 men afyrkantb>0

Hur menar du?

Om a^2+b^2=0 då a=b=0 och afyrkantb=0

Mahiya99 skrev:
Hondel skrev:
Mahiya99 skrev:
Hondel skrev:
Jag får det till detta: Du kan kvadratkomplettera uttrycket $x^2+xy+y^2=(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}y^2$ . Eftersom det är summan av två kvadrattermer (och alla inblandade x och y är reella) kommer detta uttryck vara större eller lika med 0, och likheten gäller när både $\frac{3}{4}y^2=0$ och $(x+\frac{y}{2})^2$ är 0. Vilket vi kan konstatera sker endast när x=y=0. Så om vi vet att uttrycket är strikt större än 0 kommer minst en av x och y vara 0-skilt, så a) kommer gälla.

Hm jag hänger ej med tyvärr

Vilken del hänger du inte med på?

Hela kvadrat komplettering samt ditt resonemang. Jag försöker se om man kan lösa uppgiften på annat sätt

Okej, så om jag kvadrattkompletterar får jag: $a\boxplus b = a^2 + ab + y^2 = (a + \frac{1}{2}b)^2 - \frac{1}{4}b^2 + b^2 = (a + \frac{1}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2$ .

Detta uttryck består av två termer som kvadreras, så båda termer kommer vara antingen större eller lika med 0. Summan av två termer som båda är större eller lika med 0 kommer också vara större eller lika med 0, så kommer vi fram till att $a\boxplus b \geq 0$ .

När blir det likhet? Jo, det sker när båda termer är exakt lika med 0. Alltså, $(a + \frac{1}{2}b)^2 =0$ och $\frac{3}{4}b^2=0$ . Från detta ser vi direkt att b=0, och om vi pluggar in det i $(a+\frac{1}{2}b)^2=0$ får vi att a=0. Alltså, $a\boxplus b = 0$ när a=b=0.

Så, om vi då vet att $a\boxplus b >0$ vet vi att minst en av a eller b är inte 0. Om om minst en av de två talen inte är 0, då kommer inte heller $a^2+b^2=0$ (som bara sker när a=b=0).

Så vi kan konstatera att om $a\boxplus b >0$ gäller att $a^2 + b^2 \neq 0$ , dvs a) gäller

Hondel skrev:
Mahiya99 skrev:
Hondel skrev:
Mahiya99 skrev:
Hondel skrev:
Jag får det till detta: Du kan kvadratkomplettera uttrycket $x^2+xy+y^2=(x+\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}y^2$ . Eftersom det är summan av två kvadrattermer (och alla inblandade x och y är reella) kommer detta uttryck vara större eller lika med 0, och likheten gäller när både $\frac{3}{4}y^2=0$ och $(x+\frac{y}{2})^2$ är 0. Vilket vi kan konstatera sker endast när x=y=0. Så om vi vet att uttrycket är strikt större än 0 kommer minst en av x och y vara 0-skilt, så a) kommer gälla.

Hm jag hänger ej med tyvärr

Vilken del hänger du inte med på?

Hela kvadrat komplettering samt ditt resonemang. Jag försöker se om man kan lösa uppgiften på annat sätt

Okej, så om jag kvadrattkompletterar får jag: $a\boxplus b = a^2 + ab + y^2 = (a + \frac{1}{2}b)^2 - \frac{1}{4}b^2 + b^2 = (a + \frac{1}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2$ .

Detta uttryck består av två termer som kvadreras, så båda termer kommer vara antingen större eller lika med 0. Summan av två termer som båda är större eller lika med 0 kommer också vara större eller lika med 0, så kommer vi fram till att $a\boxplus b \geq 0$ .

När blir det likhet? Jo, det sker när båda termer är exakt lika med 0. Alltså, $(a + \frac{1}{2}b)^2 =0$ och $\frac{3}{4}b^2=0$ . Från detta ser vi direkt att b=0, och om vi pluggar in det i $(a+\frac{1}{2}b)^2=0$ får vi att a=0. Alltså, $a\boxplus b = 0$ när a=b=0.

Så, om vi då vet att $a\boxplus b >0$ vet vi att minst en av a eller b är inte 0. Om om minst en av de två talen inte är 0, då kommer inte heller $a^2+b^2=0$ (som bara sker när a=b=0).

Så vi kan konstatera att om $a\boxplus b >0$ gäller att $a^2 + b^2 \neq 0$ , dvs a) gäller

Jag hänger fortfarande ej med på resonemanget :/ varför måste man kvadrat komplettera? Tack ändå.

För att $a^2+b^2=0$ måste de reella talen $a=b=0$

Men $a^2+b^2$ är strikt större än $-ab$ , alltså kan inte $a=b=0$

D4NIEL skrev:
För att $a^2+b^2=0$ måste de reella talen $a=b=0$

Men $a^2+b^2$ är strikt större än $-ab$ , alltså kan inte $a=b=0$

Hur kan det vara det och varför är det så? Jag tror ej jag förstår uppgiften logik tyvärr

Okej jag tror detta (kortare) resonemang funkar också:

a^2 + ab + b^2 > 0 => minst en av a eller b är inte 0 (hade båda varit 0 hade uttrycket blivit exakt 0, men vi vet att det är strikt större än 0) => a^2+b^2 är inte 0 (eftersom a^2 + b^2 = 0 endast när a=b=0). Så a) gäller

Hondel skrev:
Okej jag tror detta (kortare) resonemang funkar också:

a^2 + ab + b^2 > 0 => minst en av a eller b är inte 0 (hade båda varit 0 hade uttrycket blivit exakt 0, men vi vet att det är strikt större än 0) => a^2+b^2 är inte 0 (eftersom a^2 + b^2 = 0 endast när a=b=0). Så a) gäller

Så varför gäller a) men ej andra alternativ. Vad är det som gör att andra alternativ är felaktiga rent logiskt? Vad krävs det för att andra ska gälla som rätt svar?

Med $a=-1$ och $b=-1$ är $a\boxplus b >0$ trots att $a<>$ och $b<>$ . Alternativ b) är alltså inte en följd av $a\boxplus b >0$

Med $a=1$ och $b=-1$ är $a\boxplus b >0$ trots att $a+b=0$ . Alternativ c) är alltså inte en följd av $a\boxplus b >0$

Mahiya99 skrev:
Hondel skrev:
Okej jag tror detta (kortare) resonemang funkar också:

a^2 + ab + b^2 > 0 => minst en av a eller b är inte 0 (hade båda varit 0 hade uttrycket blivit exakt 0, men vi vet att det är strikt större än 0) => a^2+b^2 är inte 0 (eftersom a^2 + b^2 = 0 endast när a=b=0). Så a) gäller

Så varför gäller a) men ej andra alternativ. Vad är det som gör att andra alternativ är felaktiga rent logiskt? Vad krävs det för att andra ska gälla som rätt svar?

Jag utgick från att bara ett svarsalternativ var rätt, så om du visat att a) gäller kan de andra inte gälla hehe. Men för att visa att b) och c) inte gälla kan du tänka såhär: enligt mitt resonemang med kvadratkomplettering kommer a^2+ab+b^2>=0 oavsett värde på a och b. Och det är likhet när a=b=0. Så, om vi vet att a^2+ab+b^2>0 så vet vi att a och b kan anta vilka värden som helst, förutom att båda är 0. Det är exakt samma sak för alternativ a), det är uppfyllt oavsett värde på a och b, förutom när båda är 0. Om du då istället tittar på b) och c), vilka värden kan a och b anta i de fallen? Om du kommer fram till att det inte är samma som för uttrycket i frågan (dvs, a och b kan vara vad som helst förutom att båda är 0), ja då är dessa inte lösningar.