Mafy 2022 Uppgift 30

Jag har sett en formel som skulle kunna användas för att lösa uppgiften, nämligen $p^2+q^2=2(x^2+y^2)$ där $p$ och $q$ är diagonalernas längder och $x$ och $y$ är sidlängderna. 

Jag försökte använda formeln på följande sätt: eftersom vi vet att ena diagonalen är 5 och sidlängderna är 3 och 7, kan vi skriva:

$q^2+5^2=2(7^2+3^2)$

Genom att förenkla ekvationen får vi:

$q^2+25=116$

Genom att subtrahera 25 från båda sidor får vi:

$q^2=91$

Genom att ta roten ur båda sidor får vi:

$q=\sqrt{91}$

Min förståelse är att formeln antar att vi har två rätvinkliga trianglar, där $p^2$ och $q^2$ är hypotenusorna (diagonalerna) och $2(x^2 + y^2)$ är samtliga kateter (som har samma längd, vilket kommer ifrån egenskapen hos parallelogram).  

Men hur kommer det sig att antagandet kan göras att det handlar om två rätvinkliga trianglar?

Bild på facit:

Annars så fann jag en lösning som involverar cosinussatsen: Enda man behöver göra är att hitta en av vinklarna, använde den för att hitta hälften av den andra diagonalen, och multiplicera sedan med 2.

Vi har sidan BC, sidan AB, och sidan AC (AC = BD = 7). Så kör vi cosinussatsen för att hitta vinkel B, då får vi längden på halva diagonalen, AO. O är där diagonalen korsar varandra.

Cosinussatsen för att hitta vinkeln B:

$7^2 = 3^2 + 5^2 - 2\cdot3\cdot5\cdot\cos(B) \\$
$49 = 9 + 25 - 30\cos(B) \\$
$49 - 34 = -30\cos(B) \\$
$\cos(B) = -\frac{15}{30} \\$
$B = 120°$

Eftersom cos(60) = 0.5, så är cos(180-60) = -0.5, alltså cos(120). Så B = 120.

Sedan räknar vi ut andra diagonalen:

$AO^2 = 3^2 + 2.5^2 - 2\cdot 3 \cdot 2.5 (-0.5)\\$
$AO = \sqrt{9+6.25 - 15(-0.5)}\\$
$= \sqrt{15.25+15(0.5)}\\$
$= \sqrt{22.75}\\$
$2AO = 2\sqrt{22.75} = \text{diagonalen}\\$
$= \sqrt{22.75\cdot 4} = \sqrt{91}$