Mafy 2022 Uppgift 24

Hej!

Jag förstår inte varför svaret blir att "det inte finns någon integral (divergent)". Kan någon förklara för mig vad jag gör fel eller varför integralen är divergent?

Här är min uträkning:

För att beräkna den definierade integralen $\int_{-2}^1\left(\frac{1}{x}-3 e^{-x}+\sin (\pi x)\right) d x$ tillämpar vi linjäritet och dela upp den i tre separata integraler: $\int \sin (\pi x) d x-3 \int e ^{-x} d x+\int \frac{1}{x} d x$

Den första integralen kan lösas genom att substituera $u=\pi x$ och använda den standardintegralen $\int \sin (u) d u=-\cos (u)$, vilket ger oss $-\frac{\cos (\pi x)}{\pi}$

Den andra integralen kan lösas genom att substituera $u=-x$ och använda exponentregeln $\int a ^u d u= \frac{ a ^u}{\ln ( a )}$, med $a = e$, vilket ger oss $- e ^{-x}$.

Den tredje integralen är en standardintegral, vilket ger oss $\ln (x)$.

Genom att ersätta dessa lösta integraler får vi $\int_{-2}^1\left(\frac{1}{x}-3 e^{-x}+\sin (\pi x)\right) d x=\boxed{-\frac{\cos (\pi x)}{\pi}+\ln (x)+3 e ^{-x}}$

Det enda vi behöver göra nu är att utvärdera uttrycket vid de två gränserna $-2$ och $1$ och sedan beräkna differensen mellan dem för att få det slutgiltiga värdet av den definierade integralen.

Vi kan utvärdera uttrycket $-\frac{\cos (\pi x)}{\pi}+\ln (x)+3 e^{-x}$ genom att sätta in gränserna $-2$ och $1$ för $x$ och sedan beräkna differensen. Vi får då:

$\left(-\frac{\cos (\pi \cdot 1)}{\pi}+\ln (1)+3 e ^{-1}\right) - \left(-\frac{\cos (\pi \cdot (-2))}{\pi}+\ln (|-2|)+3 e ^{2}\right)$
$= \left(-\frac{\cos (\pi)}{\pi}+0+3 e ^{-1}\right) - \left(-\frac{\cos (-2\pi)}{\pi}+\ln (2)+3 e ^{2}\right)$
$= \left(\frac{1}{\pi}+3 e ^{-1}\right) - \left(\frac{1}{\pi}+\ln (2)+3 e ^{2}\right)$
$\approx \boxed{-21.1}$

Notera att svaret jag fick antar att man får använda en räknare. Jag visste annars inte hur svaret skulle formuleras.