Mafy 2022 Uppgift 15

Jag behöver hjälp med att lösa en fysikalisk uppgift. Uppgiften är att bestämma de exponenter $\alpha, \beta$ och $\gamma$ som krävs för att uttrycka massan $M$ som en funktion av effekten $P$ , sträckan $L$ och tyngdaccelerationen $g$ enligt formeln $M = cP^\alpha L^\beta g^\gamma$ . Facit säger att $\alpha=1$ , $\beta=-1/2$ och $\gamma=-3/2$ .

Jag har försökt lösa problemet genom att använda dimensionsanalys, vilket innebär att jag jämför enheterna på vardera sidan av ekvationen. Massan mäts i kilogram (kg), effekten mäts i watt (W), sträckan mäts i meter (m) och tyngdaccelerationen mäts i meter per sekund i kvadrat (m/s²). Om vi kombinerar enheterna för att matcha enheterna på båda sidor av ekvationen får vi:

$[M] = \text{kg}$

$[P^\alpha] = \text{W}^\alpha$

$[L^\beta] = \text{m}^\beta$

$[g^\gamma] = \text{m/s²}^\gamma$

Således måste enheterna på höger sida av ekvationen vara $\text{kg}$ . Vi ser att $P^\alpha$ måste ha enheten $\text{W}$ , så $\alpha=1$ . $L^\beta$ måste ha enheten $\text{m}^{-1/2}$ för att matcha enheterna på höger sida av ekvationen, så $\beta=-1/2$ . Slutligen måste $g^\gamma$ ha enheten $\text{m}^{-3/2}$ för att matcha enheterna på höger sida av ekvationen, så $\gamma=-3/2$ .

Jag är dock inte säker på om min lösning är korrekt, så jag skulle uppskatta om någon kunde bekräfta att mina svar är rätt eller om jag har gjort några fel i min resonemang.

Tack på förhand!

Har du kollat om det stämmer?

Skriv enheten W i form av SI-enheter:

1 W = 1 kg•m²/s³

Då får P¹ enheten kg•m²/s³

Och vad får då hela högerledet för enhet?

Yngve skrev:
Har du kollat om det stämmer?

Skriv enheten W i form av SI-enheter:

1 W = 1 kg•m²/s³

Då får P¹ enheten kg•m²/s³

Och vad får då hela högerledet för enhet?

Ja, jag har kontrollerat att det stämmer att $\alpha=1$ , $\beta=-1/2$ och $\gamma=-3/2$ genom att använda dimensionsanalys.

För att svara på din andra fråga: Eftersom $P$ har enheten $\text{W}$ , vilket enligt SI-systemet är kilogram meter kvadrat per sekund i kubik, kan vi skriva $P$ som $P = 1 \text{ W} = 1 \text{ kg}\cdot \text{m}^2/\text{s}^3$ .

Sätter vi in de givna exponenterna för $\alpha, \beta$ och $\gamma$ i uttrycket $M=cP^\alpha L^\beta g^\gamma$ erhåller vi:

$M = cP^\alpha L^\beta g^\gamma = c (1 \text{ kg}\cdot \text{m}^2/\text{s}^3)^1 L^{-1/2} (\text{m/s}^2)^{-3/2}$

Sedan kan vi förenkla enheterna:

$M = c \text{ kg}^{1} \text{m}^{2\cdot1}\text{s}^{-3\cdot1} \text{m}^{-1/2} (\text{m}^{-3/2})$

$M = c \text{ kg} \text{m}^{2} \text{s}^{-3} \text{m}^{-1/2-3/2}$

$M = c \text{ kg} \text{m}^1\text{s}^{-2}$

Därför är enheten för högerledet $\text{kg}\cdot \text{m}^1\cdot \text{s}^{-2}$ , vilket är enheten för massa (kg) gånger acceleration (m/s^2) eller Newton (N).

Eller iaf står det i facit att

$\alpha =1,\ \beta =-\frac{1}{2} ,\ \gamma =-\frac{3}{2}$

Någon som kan utveckla vidare på detta:

$M=c\left( \frac{1kg\ m^{2}}{s^{3}} \right)^{\alpha } \left( m\right)^{\beta } \left( \frac{m}{s^{2}} \right)^{\gamma }$

Möjligtvis:

För att bestämma värdena på $\alpha$ , $\beta$ och $\gamma$ i uttrycket $M=cP^\alpha L^\beta g^\gamma$ använder vi dimensionsanalys för att matcha enheterna på båda sidor av ekvationen. Vi kan sedan skriva om ekvationen med enheterna för de givna kvantiteterna och sedan jämföra exponenterna på $[M]$ , $[L]$ och $[T]$ på båda sidor av ekvationen. Detta leder till ett linjärt ekvationssystem, där vi kan lösa för $\alpha$ , $\beta$ och $\gamma$ genom att använda de tre ekvationerna.

Eftersom massans dimension bara är närvarande i $M$ , kan vi säga att exponenten för $M$ i uttrycket måste vara 1, det vill säga $\alpha = 1$ . Å andra sidan har vi ingen annan dimension närvarande i uttrycket förutom massan, så dimensionerna för längd och tid måste upphävas i det slutliga uttrycket för $M$ . Detta innebär att exponenterna för $L$ och $T$ måste vara noll.

Därför får vi $\beta + \gamma = 0$ och $-2\alpha - 2\gamma = 0$ , vilket leder till $\alpha = 1$ , $\beta = -1/2$ och $\gamma = -3/2$ . Genom att ersätta dessa värden i uttrycket för $M$ får vi $M=cP L^{-\frac{1}{2}} g^{-\frac{3}{2}}$ .

Svara

Visa senaste svar