Mafy 2021 Uppgift 9

Hej alla!

Jag behöver hjälp med en matematisk fråga och hoppas någon här kan hjälpa mig. Jag har försökt att lösa den själv men jag är inte säker på om jag har kommit fram till rätt svar.

Frågan lyder såhär: Talen 2 och 4 är lösningar till ekvationen $x^n+a x^{n-1}+\cdots+b x+c=0$ . Man kan då dra slutsatsen att (a) $n \leq 2$ , (b) $n=2$ ; (c) $n \geq 2$ , eller (d) inget av (a)-(c).

Jag försökte lösa detta genom att ersätta $x$ med 2 och 4 i ekvationen och sedan försöka lösa ut värdet på $n$ . Det jag kom fram till var att $n$ skulle vara större än eller lika med 2, eftersom ekvationen gav 0 för både 2 och 4. Så mitt svar är alternativ (c) $n \geq 2$ . Men jag är inte säker på om detta är korrekt eller om jag har missat något.

Tack på förhand för hjälpen!

Du kommer fram till rätt svar, men du behöver inte sätta in 2 och 4 i ekvationen.

Det borde gå att endast konstatera följande: Ett polynom av graden n har n rötter (inte nödvändigtvis unika eller reella rötter, men n stycken rötter). Det innebär att vi kan skriva alla polynom på formen $P (x) = k \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) \cdot . . . \cdot (x - x_{n})$ .

Eftersom vi har fått veta att det finns två lösningar, $x=2$ och $x=4$ , måste två av faktorerna i $P(x)$ vara $(x-2)$ respektive $(x-4)$ . Alltså kan n inte vara mindre än 2.

Däremot vet vi inget mer om polynomet än så, och därför blir slutsatsen att det finns minst två rötter, och därmed att $n\geq2$ . :)

Smutstvätt skrev:
Du kommer fram till rätt svar, men du behöver inte sätta in 2 och 4 i ekvationen.

Det borde gå att endast konstatera följande: Ett polynom av graden n har n rötter (inte nödvändigtvis unika eller reella rötter, men n stycken rötter). Det innebär att vi kan skriva alla polynom på formen $P (x) = k \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) \cdot . . . \cdot (x - x_{n})$ .

Eftersom vi har fått veta att det finns två lösningar, $x=2$ och $x=4$ , måste två av faktorerna i $P(x)$ vara $(x-2)$ respektive $(x-4)$ . Alltså kan n inte vara mindre än 2.

Däremot vet vi inget mer om polynomet än så, och därför blir slutsatsen att det finns minst två rötter, och därmed att $n\geq2$ . :)

Om vi inte vet ifall $n \geq 2$ , eller om $n=2$ , är det inte så att informationen blir otillräckligt för oss att säga med säkerhet vad den eventuella 3:e roten är för något?

Njae, inte riktigt. Om alternativ (c) hade varit $n>3$ , så hade du haft rätt i din slutsats, men eftersom alternativ (c) inkluderar möjligheten att $n=2$ , kan vi säkert säga att det alternativet stämmer. Möjligheten att $n=2$ finns inbakad i alternativ (c). :)

Svara

Visa senaste svar