MAFY 2021 Uppgift 6

Hassan1 skrev:

 

Om jag ersätter x ¤ y med 2x såsom på alternativ a så får jag följande:

 

Men trots det så är inte a rätt svar enligt facit, rätt svar är d. Hur kommer man fram till det? Och vad betyder ens det där kvadrattecknet mellan x och y? 

Använd ena kvadreringsregeln baklänges istället såhär: 
$\sqrt{x^2+4xy+4y^2}-2y+x=\sqrt{{(x+2y)}^2}-2y+x=(x+2y)-2y+x=2x$
Kvadrattecknet är nog bara en påhittad symbol för att visa att detta är en operation. T.ex 2+2 =4. (Addition)

Tillägg: 25 dec 2021 10:47

Då har man bevisat att uttrycket kan skrivas 2x

Tillägg: 25 dec 2021 10:50

Du skrev att rätt svar är d). Vet inte varför det som jag gjorde nyss inte skulle funka med vilket reellt tal som helst. Måste fundera

Roten är alltid positiv vilket medför att negativa x gör att det blir olika. T ex x=-1, y=0 ger att det givna uttrycket är 0.

För att utveckla det som Programmeraren skrev ovan, det gäller att $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$. När det gäller positiva x spelar det ingen roll, men för negativa x måste vi komma ihåg att byta tecken. :)

Smutstvätt skrev:

För att utveckla det som Programmeraren skrev ovan, det gäller att $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$. När det gäller positiva x spelar det ingen roll, men för negativa x måste vi komma ihåg att byta tecken. :)

Jaha! Nu förstår jag precis hur ni menar. Men finns det något knep kring hur man ska komma ihåg detta under provet? Personlingen hade jag bara kryssat i a och gått vidare utan att tänka på annat. 

Njae, inte direkt. Ett sätt att kontrollera sitt svar är dock att sätta in några olika värden. Prova något positivt värde, något negativt, och något nära noll. 

Vad står denna symbol för? jag frågat matteläraren och de vet inte.

Det är bara en symbol som ibland används i betydelsen "någon matematisk operation"

Programmeraren skrev:

Roten är alltid positiv vilket medför att negativa x gör att det blir olika. T ex x=-1, y=0 ger att det givna uttrycket är 0.

Stämmer följande resonemang?

För att visa att (d) är det korrekta svaret, räcker det med att hitta en motexempel där något av påståendena (a)-(c) inte gäller. Vi kan börja med (a). Om vi sätter $y=0$, får vi $x \boxplus 0 = \sqrt{x^2} + x$, vilket är lika med $2x$ för $x \geq 0$. Men om vi sätter $x=-1$ och $y=0$, får vi $x \boxplus y = \sqrt{1} - 0 - 1 = 0$, vilket inte är lika med $2x$.$$

På samma sätt kan vi visa att (b) och (c) inte gäller genom att hitta motexempel.

Således är det korrekta svaret (d) inget av (a)-(c) gäller för alla reella tal $x, y$.