MAFY 2021 Uppgift 22

Du tänker rätt! :) 

För att vi ska ha två olika lösningar överhuvudtaget måste diskriminanten vara positiv, alltså 

$$\begin{gathered} \sqrt{p^2-\left(6-p\right)}>0 \\ {p}^2+p-6>0 \\ \left(p+3\right)\left(p-2\right)>0 \\ p>2 \mathrm{eller} p<-3 \end{gathered}$$

Därefter tillkommer vad som händer med vårt rotuttryck. Både $-p+\sqrt{p^2+p-6}$ och $-p-\sqrt{p^2+p-6}$ måste vara negativa, men eftersom rotuttrycket i sig alltid är positivt, kan vi fokusera enbart på det första alternativet. Vi vill alltså att 

$$\begin{gathered} \xcancel{-p+\sqrt{p^2+p-6}>0 \\ \sqrt{p^2+p-6}>p} \\ -p+\sqrt{p^2+p-6}<0 \\ \sqrt{p^2+p-6}<p \end{gathered}$$

Vilka p uppfyller detta? :)

Smutstvätt skrev:

Du tänker rätt! :) 

För att vi ska ha två olika lösningar överhuvudtaget måste diskriminanten vara positiv, alltså 

$$\begin{gathered} \sqrt{p^2-\left(6-p\right)}>0 \\ {p}^2+p-6>0 \\ \left(p+3\right)\left(p-2\right)>0 \\ p>2 \mathrm{eller} p<-3 \end{gathered}$$

Därefter tillkommer vad som händer med vårt rotuttryck. Både $-p+\sqrt{p^2+p-6}$ och $-p-\sqrt{p^2+p-6}$ måste vara negativa, men eftersom rotuttrycket i sig alltid är positivt, kan vi fokusera enbart på det första alternativet. Vi vill alltså att 

$$\begin{gathered} -p+\sqrt{p^2+p-6}>0 \\ \sqrt{p^2+p-6}>p \end{gathered}$$

Vilka p uppfyller detta? :)

Jag tror att olikhetsteckena ska vara omvända på de två sista raderna du har skrivit. Jag  har dessutom kommit fram till att

p$<$6

Kan inte tänka på ett annat sätt så att lösningen blir en tria istället för en sexa

Nu har jag kollat genom uppgiften ordentligt. i början visade du att i och med att diskriminanten är positiv så ska p antigen vara större än två eller mindre än -3.  Löser jag ut det sista ekcationen får jag att p ska vara mindre än 6. Antalet heltal p blir då p = 3, p = 4 och p = 5. Alltså 3 st. Men borde vi inte ha fler lösningar med tanke på att p kan också vara mindre än -3 ?

Jag tror att olikhetsteckena ska vara omvända på de två sista raderna du har skrivit. Jag  har dessutom kommit fram till att

p<6

Kan inte tänka på ett annat sätt så att lösningen blir en tria istället för en sexa

Ursäkta, det har du helt rätt i. Jag har ändrat, tack för dina skarpa ögon! 

Nu har jag kollat genom uppgiften ordentligt. i början visade du att i och med att diskriminanten är positiv så ska p antigen vara större än två eller mindre än -3.  Löser jag ut det sista ekcationen får jag att p ska vara mindre än 6. Antalet heltal p blir då p = 3, p = 4 och p = 5. Alltså 3 st. Men borde vi inte ha fler lösningar med tanke på att p kan också vara mindre än -3 ?

3, 4 och 5 stämmer. Vad det gäller $p<-3$, så nja. Eftersom $\sqrt{p^2+p-6}<p$, innebär det att om p är negativt, måste även rotuttrycket vara negativt, vilket inte är tillåtet. :)

Smutstvätt skrev:

Jag tror att olikhetsteckena ska vara omvända på de två sista raderna du har skrivit. Jag  har dessutom kommit fram till att

p<6

Kan inte tänka på ett annat sätt så att lösningen blir en tria istället för en sexa

Ursäkta, det har du helt rätt i. Jag har ändrat, tack för dina skarpa ögon! 

Nu har jag kollat genom uppgiften ordentligt. i början visade du att i och med att diskriminanten är positiv så ska p antigen vara större än två eller mindre än -3.  Löser jag ut det sista ekcationen får jag att p ska vara mindre än 6. Antalet heltal p blir då p = 3, p = 4 och p = 5. Alltså 3 st. Men borde vi inte ha fler lösningar med tanke på att p kan också vara mindre än -3 ?

3, 4 och 5 stämmer. Vad det gäller $p<-3$, så nja. Eftersom $\sqrt{p^2+p-6}<p$, innebär det att om p är negativt, måste även rotuttrycket vara negativt, vilket inte är tillåtet. :)

Tackar, tackar!!