MAfy 2021 uppgift 15

Jag tänker på enhetscirkeln. Alfa mellan 0 och 3*pi/2 motsvarar mellan 0 och 3/4:s varv.

Sedan försöker jag ta en vinkel som är enkel att räkna med. cos(pi) = -1, cos(pi/2) = 0. Sätter jag in p=-1 i alternativ (a)-(c) får jag -1, 1 och 0, så på det viset har jag uteslutet alternativ (a) och (b).

Prövar vi istället alfa= pi/2 får vi cos(alfa)= 1, cos(alfa/2)= 1/sqrt(2). Sätter man in p=1 i (c) får man 1 så det stämmer inte heller och...

...och det är först nu jag noterar att alfa som minst blir pi, inte 0, så mina val av alfa-vinklar var inte gångbara.

Nåväl, vi prövar alfa= 5*pi/4. cos(alfa)= -1/sqrt(2), cos(alfa/2)= ett icke-standardvärde, men enhetscirkeln gör att det blir negativt, så vi har eliminerat (b) och (c) åtminstone.

Bedinsis skrev:

Jag tänker på enhetscirkeln. Alfa mellan 0 och 3*pi/2 motsvarar mellan 0 och 3/4:s varv.

Sedan försöker jag ta en vinkel som är enkel att räkna med. cos(pi) = -1, cos(pi/2) = 0. Sätter jag in p=-1 i alternativ (a)-(c) får jag -1, 1 och 0, så på det viset har jag uteslutet alternativ (a) och (b).

Prövar vi istället alfa= pi/2 får vi cos(alfa)= 1, cos(alfa/2)= 1/sqrt(2). Sätter man in p=1 i (c) får man 1 så det stämmer inte heller och...

...och det är först nu jag noterar att alfa som minst blir pi, inte 0, så mina val av alfa-vinklar var inte gångbara.

Nåväl, vi prövar alfa= 5*pi/4. cos(alfa)= 1/sqrt(2), cos(alfa/2)= ett icke-standardvärde, men enhetscirkeln gör att det blir negativt, så vi har eliminerat (b) och (c) åtminstone.

Så enda sättet att lösa denna uppgift på är att prova massa vinklar mellan detta intervall? Man förväntas väl kunna de flesta trigformler på detta prov. Nu kom jag på cos(alfa/2)=+-sqrt(1+sin(alfa)/2). Jag använde trigettan och detta är vad jag får men det liknar ej alternativen.

Ett snabbt första steg är att skissa upp enhetscirkeln och titta. Vinkeln alfa ligger i tredje kvadranten. Det betyder att cos(alfa) måste vara ett negativt tal.

Om man halverar en vinkel i tredje kvadranten hamnar man i andra kvadranten. Det betyder att cos(alfa/2) också måste vara negativt. Då kan du stryka b och c.

Sedan skulle jag jobba med alternativ a. Hur man gör där beror på vilka formler man kommer ihåg. Minns man formeln för dubbla vinkeln för cosinus är den lämplig att använda:

$\cos \left(2x\right)=2{\cos }^2\left(x\right)-1$

Om (a) stämmer får man $\cos \left(a\right)=\cos \left(2*\frac{a}{2}\right)=2{\cos }^2\left(\frac{a}{2}\right)-1=2{\left(-\sqrt{\frac{1-p}{2}}\right)}^2-1=2\left(\frac{1-p}{2}\right)-1=1-p-1=-p$

Men då kan ju inte (a) stämma, så svaret blir (d).

Man kan säkerligen tänka på många sätt.

Jag gjorde misstaget att anta att pi ingick i intervallet, men om vi prövar en vinkel som är yttepytte lite mer än det i stället:

cos(pi+h) = [ett värde lite större än -1]

cos((pi+h)/2) = [ett värde lite mindre än 0]

Sätter vi in [ett värde lite större än -1] i (a) så får vi -sqrt((1-(-1+[lite]))/2) = -sqrt((2-[lite])/2) = -sqrt(1-[lite]/2).

Jag har svårt att få det värdet till att bli [ett värde lite mindre än 0].

SvanteR skrev:

Ett snabbt första steg är att skissa upp enhetscirkeln och titta. Vinkeln alfa ligger i tredje kvadranten. Det betyder att cos(alfa) måste vara ett negativt tal.

Om man halverar en vinkel i tredje kvadranten hamnar man i andra kvadranten. Det betyder att cos(alfa/2) också måste vara negativt. Då kan du stryka b och c.

Sedan skulle jag jobba med alternativ a. Hur man gör där beror på vilka formler man kommer ihåg. Minns man formeln för dubbla vinkeln för cosinus är den lämplig att använda:

$\cos \left(2x\right)=2{\cos }^2\left(x\right)-1$

Om (a) stämmer får man $\cos \left(a\right)=\cos \left(2*\frac{a}{2}\right)=2{\cos }^2\left(\frac{a}{2}\right)-1=2{\left(-\sqrt{\frac{1-p}{2}}\right)}^2-1=2\left(\frac{1-p}{2}\right)-1=1-p-1=-p$

Men då kan ju inte (a) stämma, så svaret blir (d).

Men vad ska jag göra för att få samma svar som dig ? Du har redan avslöjat svaret fastän jag ej löst uppgiften klart. Sen började jag med cos dubbla vinkel.  (Mitt minne sa att det är som det står i #3).  Men jag kommer ingenvart där liksom? 

marcusd74h skrev:

Jaha du bytte ut alfa mot alfa/2?  Har svårt o hänga med på din lösning. 

Det är lite oklart för mig var du kör fast. Men tanken i min lösning och även i den som marcusd74h har skrivit är att eftersom $\alpha =2*\frac{\alpha }{2}$så kan man använda formeln för dubbla vinkeln på $\frac{\alpha }{2}$

SvanteR skrev:

Det är lite oklart för mig var du kör fast. Men tanken i min lösning och även i den som marcusd74h har skrivit är att eftersom $\alpha =2*\frac{\alpha }{2}$så kan man använda formeln för dubbla vinkeln på $\frac{\alpha }{2}$

Så det finns ingen möjlighet att kalla v=alfa/2 ? Det var det jag började med men som du ser så blir det ej bra för då får jag som jag fått i #1. Jag har bara svårt att förstå båda lösningsförslag som är presenterade för mig. Tack för hjälpen!

Tillägg: 25 apr 2024 12:31

https://youtu.be/N35HLQOgSBo?si=b3mSqcWJcJ15QhQp 

Jag såg detta klipp ovan och det hjälpte mig med denna fråga.  Dock kom jag ihåg formeln fel insåg jag nu.