Mafy 2021 Uppgift 11

Hej,

Har fastnat på följande uppgift:

11. En boll släpps från vila från en punkt $P$ på en trädgren, $5 m$ över marken. Precis samtidigt kastas en annan boll med utgångsfarten $v_0$ från en punkt belägen 1 m över marken och på det horisontella avståndet $4 m$ från den första bollen. I vilken riktning skall den andra bollen kastas för att träffa den första bollen? Luftmotståndet är försumbart.
A. I riktning mot en punkt över $P$ .
B. I riktning mot $P$ .
C. I riktning mot en punkt under $P$
D. Kan ej avgöras utan ytterligare information.

För att lösa problemet tänkte jag att man kan använda ekvationer man får lära sig i rörelselära, alltså rörelse i två dimensioner. Vi kan anta att boll nummer två rör sig rakt mot punkten där de två bollarna möts, vilket vi kan kalla för punkt $Q$. Vi kan skriva ekvationerna för rörelsen för de två bollarna som:

där $x$ och $y$ är positionerna för respektive boll i $x$ - och $y$ -led, $v_0$ är den initiala hastigheten för boll nummer två, $\alpha$ är vinkeln som bollen kastas med, och $g$ är accelerationen på grund av tyngdkraften.

För att bestämma vinkeln $\alpha$ som boll nummer två ska kastas med, behöver vi hitta tiden då bollarna träffas. Eftersom bollarna träffas i punkt $Q$ , vet vi att deras $x$ -koordinater är lika vid tidpunkten för kollisionen. Vi kan därför sätta ekvation 1 lika med ekvation 3:

$v_0\sin(\alpha)t = 4$ vilket ger oss ett uttryck för $t$ :

$t = \frac{4}{v_0\sin(\alpha)}$

Vi kan nu använda detta uttryck för $t$ och sätta ekvation 2 lika med ekvation 4:

$v_{0}\sin (\alpha )\cdot \frac{4}{v_{0}\sin (\alpha )} -\frac{1}{2} g\left( \frac{4}{v_{0}\sin (\alpha )} \right)^{2} = 5-\frac{1}{2} g\left( \frac{4}{v_{0}\sin (\alpha )} \right)^{2}$

Men här insåg jag om det är tänkt att det ska bli så komplicerat?

Det finns en term på båda sidorna som du kan förenkla bort. Det kan du göra innan du sätter in t.

Dani163 skrev:
Men här insåg jag om det är tänkt att det ska bli så komplicerat?

Det är nog enklare att börja med att undersöka vad som händer om man siktar mot P.

Pieter Kuiper skrev:
Dani163 skrev:
Men här insåg jag om det är tänkt att det ska bli så komplicerat?

Det är nog enklare att börja med att undersöka vad som händer om man siktar mot P.

Om du tänker dig att v₀ är extremt hög, vart ska du sikta då?

Ture skrev:
Pieter Kuiper skrev:
Dani163 skrev:
Men här insåg jag om det är tänkt att det ska bli så komplicerat?

Det är nog enklare att börja med att undersöka vad som händer om man siktar mot P.

Om du tänker dig att v₀ är extremt hög, vart ska du sikta då?

Precis under?

Pieter Kuiper skrev:
Dani163 skrev:
Men här insåg jag om det är tänkt att det ska bli så komplicerat?

Det är nog enklare att börja med att undersöka vad som händer om man siktar mot P.

Är det dit man sikta, oavsett utgångshastighet?

Ja,

men för att övertyga sig kan man fortsätt där du började, med att lösa det algebraiskt.

Notera dock att den boll man kastar befinner sig 1 m över mark, så höjdskillnaden mellan bollarna är från början 4 m, du har räknat med 5. Dessutom skrev du fel när du satte samman ekvationerna, ett cos blev sin

Ture skrev:
Notera dock att den boll man kastar befinner sig 1 m över mark, så höjdskillnaden mellan bollarna är från början 4 m, du har räknat med 5. Dessutom skrev du fel när du satte samman ekvationerna, ett cos blev sin

Tack för att du påpekar detta! För den första bollen, som släpps från 5 meters höjd, gäller:

$x_1 = 0$ och $y_1 = 5 - \frac{1}{2} gt^2$

För den andra bollen, som kastas från en höjd av 1 meter och ett avstånd på 4 meter i horisontell riktning från den första bollen, gäller:

$x_2 = 4 + v_0 \cos(\theta) t$

$y_2 = 1 + v_0 \sin(\theta) t - \frac{1}{2} gt^2$

Vi kan anta att båda bollarna träffar varandra vid en tidpunkt $t$ och en horisontell position $x$ . Då blir ekvationerna för de två bollarna:

$0 = 4 + v_0 \cos(\theta) t - x$

$5 - \frac{1}{2} gt^2 = 1 + v_0 \sin(\theta) t - \frac{1}{2} gt^2$

Rätt så långt?

Var noga med att hålla reda på var du lägger ditt origo!

du har skrivit att x₂ = 4+v₀cos osv vilket betyder att man kastar bollen åt fel håll, dvs bort från den andra, och det är väl inte så du menar...

Rita en bild där du sätter ut ett koordinatsystem och ritar in dina bollar i utgångsläget.

Enklast tycker jag är att lägga origo där man kastar bollen från. Men det går givetvis att lägga det varhelst man önskar.

Svara

Visa senaste svar