MAFY 2021 fråga 30 (Matematik/MaFy (mattedelen))

Om man kan Herons formel så kan man enkelt beräkna arean, och sedan höjden mot valfri sida.

Om höjden är h vet du att trianglens area är (4h)/2. Om du kan räkna ut arean på ett anant sätt kan du sätta de två areorna lika med varandra och lösa ut h.

Svårigheten med denna fråga är att det är väldigt svårt (läs: omöjligt) att under provet komma fram till en formel för trianglens area som bara använder trianglens sidlängder. Så jag tror att de flesta som fick rätt på den frågan använde sig av Herons formel.

Det går med areasatsen och cosinussatsen, vilket i princip blir en härledning av Herons formel. Jobbigt under tidspress.

Hur är det möjligt med area och cossinussats, de på provet vill ha ett exakt svar och med cosinussatsen får man en vinkel (tror 104 grader) som ej går att skriva i exakt form.

Tänk att höjden delar sidan 4 i x och 4-x. Då kan man använda pythagoras sats två gånger. Kalla höjden h.

x^2+h^2=4 och (4-x)^2+4^2=9

Två ekvationer två obekanta ...

Alternativ lösning:
1. cosinussatsen ger dig ett utryck för cos(A) där A är den längsta sidans motstående vinkel
Jag fick cos(A)=1/4
2. Triginometriska ettan ger dig då ett uttryck för sin(A)
Jag fick $\sin (A) = \frac{\sqrt{15}}{4}$
3. Areasatsen ger dig ett uttryck för arean
Jag fick $A = \frac{3 \cdot \sqrt{15}}{4}$

4. Arean för en triangel A=b*h/2 -> h=2A/b
Okej, dåliga variabelnamn men b är den längsta sidan 4
Jag fick $h = \frac{2 A}{b} = \frac{3 \sqrt{15}}{8}$

henrikus skrev:
Tänk att höjden delar sidan 4 i x och 4-x. Då kan man använda pythagoras sats två gånger. Kalla höjden h.

x^2+h^2=4 och (4-x)^2+4^2=9

Två ekvationer två obekanta ...

x^2+h^2=4 och (4-x)^2+h^2=9 ska det vara

Om man subtraherar ekvationerna från varandra får man

(4-x)^2-x^2=9-4 =>

8x=16-9+4=11 =>

x=11/8=>

h^2=4-121/64=(256-121)/64=135/64=>

$h = \sqrt{\frac{135}{64}} = \frac{3 \sqrt{15}}{8}$

Har försökt med Herons formel och kommer till att jag får 3*roten ur 15 hur blir det delat på 8?

Ludzz skrev:
Har försökt med Herons formel och kommer till att jag får 3*roten ur 15 hur blir det delat på 8?

roten ur 64 är 8.

men vart kommer 64 ifrån?

Ludzz skrev:
men vart kommer 64 ifrån?

du kan rita en triangel med sidlangderna 4,3 och 2. Använd cosinus satsen för att få största vinkeln till längsta sidan, sen trig ettan och därefter areasatsen för att få ut höjden. då kommer du första varför 64 finns med :)

Dr. G skrev:
Om man kan Herons formel så kan man enkelt beräkna arean, och sedan höjden mot valfri sida.

kan du visa? får aldrig /8

$A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Med a = 2, b = 3, c = 4, så blir p = (a + b + c)/2 =9/2.

$A=\sqrt{\dfrac{9}{2}\cdot\dfrac{9-2\cdot 2}{2}\cdot\dfrac{9-2\cdot 3}{2}\cdot\dfrac{9-2\cdot 4}{2}}= \sqrt{\dfrac{9\cdot 5\cdot 3\cdot 1}{2^4}}=\dfrac{3\sqrt{15}}{4}$

Höjden h mot sidan c ges av

$A = \dfrac{ch}{2}$

så

$h = \dfrac{2A}{c}=\dfrac{2\cdot\dfrac{3\sqrt{15}}{4}}{4}=\dfrac{3\sqrt{15}}{8}$

Dr. G skrev:
$A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Med a = 2, b = 3, c = 4, så blir p = (a + b + c)/2 =9/2.

$A=\sqrt{\dfrac{9}{2}\cdot\dfrac{9-2\cdot 2}{2}\cdot\dfrac{9-2\cdot 3}{2}\cdot\dfrac{9-2\cdot 4}{2}}= \sqrt{\dfrac{9\cdot 5\cdot 3\cdot 1}{2^4}}=\dfrac{3\sqrt{15}}{4}$

Höjden h mot sidan c ges av

$A = \dfrac{ch}{2}$

så

$h = \dfrac{2A}{c}=\dfrac{2\cdot\dfrac{3\sqrt{15}}{4}}{4}=\dfrac{3\sqrt{15}}{8}$

Är Heron tillbaka i skolan? Sist jag såg den var på skrivningar från 1940 (ca).

Den är nog inte tillbaka mer än att den nämns som kuriosa någon gång. Kanske inte ens det.

Trinity2 skrev:
Dr. G skrev:
$A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Med a = 2, b = 3, c = 4, så blir p = (a + b + c)/2 =9/2.

$A=\sqrt{\dfrac{9}{2}\cdot\dfrac{9-2\cdot 2}{2}\cdot\dfrac{9-2\cdot 3}{2}\cdot\dfrac{9-2\cdot 4}{2}}= \sqrt{\dfrac{9\cdot 5\cdot 3\cdot 1}{2^4}}=\dfrac{3\sqrt{15}}{4}$

Höjden h mot sidan c ges av

$A = \dfrac{ch}{2}$

så

$h = \dfrac{2A}{c}=\dfrac{2\cdot\dfrac{3\sqrt{15}}{4}}{4}=\dfrac{3\sqrt{15}}{8}$

Är Heron tillbaka i skolan? Sist jag såg den var på skrivningar från 1940 (ca).

Den förekommer lite lätt i Matematik 5 när man jobbar med omfångsrika problem. För dem som har 5000-serien finns den på sidan 234. Obs, problemet är valfritt och inte ett krav att man MÅSTE göra problemet (med vissa undantag). Det jag vill säga är att av alla 5 mattekurser man kan läsa på gymnasiet förekommer den enbart på en sida i en uppgift...

joculator skrev:
Alternativ lösning:
1. cosinussatsen ger dig ett utryck för cos(A) där A är den längsta sidans motstående vinkel
Jag fick cos(A)=1/4
2. Triginometriska ettan ger dig då ett uttryck för sin(A)
Jag fick $\sin (A) = \frac{\sqrt{15}}{4}$
3. Areasatsen ger dig ett uttryck för arean
Jag fick $A = \frac{3 \cdot \sqrt{15}}{4}$

4. Arean för en triangel A=b*h/2 -> h=2A/b
Okej, dåliga variabelnamn men b är den längsta sidan 4
Jag fick $h = \frac{2 A}{b} = \frac{3 \sqrt{15}}{8}$

hur fick du att cos(A) = 1/4 utan ett minus tecken??

Visst är det så, men det har inte så stor betydelse eftersom vi kvadrerar i nästa steg när vi använder trigonometriska ettan.

Om det kan vara till någon hjälp så gjorde jag så här för att förstå joculators lösning som är väldigt lärorik. Den innehåller ju många enskilda delar.
Det här gjorde jag på min whiteboard. Något jag rekommenderar till alla som har svårt att studera andras exempel. Kanske som i mitt fall lite bristande tålamod att inte få räkna själv. Att långsamt försöka förstå och samtidigt skriva ned det man förstår är för mig ett fantastiskt hjälpmedel. Whiteboarden inköpt på Biltema för en tusenlapp har varit till stor hjälp för mig. Det är också en bra övning om man behöver stå och berätta för andra. Då är man van vid situationen.