Mafy 2019 Uppgift 8

Dani163 skrev:

Planeten Mars bana har en radie som är ungefär 1.5 gånger radien för jordens bana.  

Min första tanke var att använda Keplers tredje lag, som säger att kvadraten på omloppstiden är proportionell mot kuben på planetens medelavstånd från solen. Men jag känner inte till Mars medelavstånd från solen, så jag kan inte använda den formeln. 

Jodå. Uppgiften säger allt som behövs för att kunna använda Keplers tredje lag, alternativ D är fel.

Sedan utesluter man alternativ A, eftersom det måste ta mer tid när banan är större.

Sedan utesluter man alternativ B eftersom man kommer ihåg att Keplers lag inte var en proportionalitet, att omloppstiderna borde förhålla sig som 1,5^2/3 eller som 1,5^3/2.

Keplers lag säger oss att kvadraten på omloppstiden ( $T$ ) för en satellit är proportionell mot kubiken på dess avstånd $( R )$ från den omloppande planeten.

$T^2 \propto R^3$

Tiden för jordens omloppsbana runt solen är 1 år, och antagande att medelavståndet mellan jorden och solen är $R$, kan vi skriva medelavståndet mellan Mars och solen som 1.5R. Vi låter $T$ vara tiden för Mars omloppsbana runt solen. Därmed från proportionen ovan, får vi följande:

$\frac{T^2}{R^3} =\frac{(1 \text { år })^2}{R^3}$

$\frac{T^2}{(1.5 R)^3} =\frac{(1 \text { år })^2}{R^3}$

$T^2 =1.5^3$

$T =\sqrt[2]{\left(\frac{3}{2}\right)^3} \text { år }$

$T=\sqrt[2]{\frac{3}{2}^{3} } =\left( \frac{3}{2} \right)^{\frac{3}{2} } =\frac{3}{2} \times \sqrt{\frac{3}{2} } = T>1.5\ \text{år}$

Alltså tar Mars 1.9 år att gå ett varv runt solen, enligt denna resonemang.