MAFY 2019 Uppgift 5

Jag vet att det finns en tråd om den här uppgiften: https://www.pluggakuten.se/trad/mafy-prov-2019-upg-5/

Men jag förstår ändå inte hur man ska ställa upp ekvationen, det går inte ihop i mitt huvud. Min fråga då: Hur ställer man upp ekvationen? Det jag inte förstår är hur hastigheterna försvinner vid förenkling.

Hur menar du att hastigheten försvinner? Formeln som används är formeln för rörelsemängdens bevarande:

$m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = (m_{1} + m_{2}) v$

Om massorna är lika stora kan vi förkorta bort massan, men här är de ju inte lika stora, så det går inte. Rörelsemängden innan stöten är $m v + (- M v)$ , och efter stöten är rörelsemängden $(m + M) u$ , där u är kroppens hastighet efter stöten. Det ger oss ekvationen $v (m - M) = (m + M) u$ .

Rörelseenergin innan stöten är $\frac{m v^{2}}{2} + \frac{M {(- v)}^{2}}{2} = \frac{v^{2} (m + M)}{2}$ och efter stöten $\frac{(m + M) u^{2}}{2}$ .

Vi vet från formeln om rörelseenergi att rörelsemängden efter stöten var lika med $(m + M) u = v (m - M)$ , vilket ger oss att $u^{2} = \frac{v^{2} {(m - M)}^{2}}{{(m + M)}^{2}}$ . Substituering i rörelseenergiformeln ger då att:

$\frac{(m + M) u^{2}}{2} = \frac{(m + M) (\frac{v^{2} {(m - M)}^{2}}{{(m + M)}^{2}})}{2} = \frac{v^{2} {(m - M)}^{2}}{2 (m + M)}$

$\frac{E_{i n n a n} - E_{e f t e r}}{E_{i n n a n}} = \frac{\frac{v^{2} (m + M)}{2} - (\frac{v^{2} {(m - M)}^{2}}{2 (m + M)})}{\frac{v^{2} (m + M)}{2}} = \frac{\frac{v^{2} (m + M)}{2} - (\frac{v^{2} {(m - M)}^{2}}{2 (m + M)})}{\frac{v^{2} (m + M)}{2}} = \frac{(m + M) - \frac{{(m - M)}^{2}}{(m + M)}}{m + M} = \frac{{(m + M)}^{2} - {(m - M)}^{2}}{{(m + M)}^{2}}$

Edit: Minustecken åtgärdade. Tack för dina skarpa ögon, Ture!

Smutstvätt tappade ett minustecken på näst sista raden. Med det på plats kan man förenkla och få fram lösning enl alt C.

Ture skrev:
Smutstvätt tappade ett minustecken på näst sista raden. Med det på plats kan man förenkla och få fram lösning enl alt C.

Hoppsan, det var inte bra. Jag har åtgärdat det nu. Tack för dina vässade ögon! :)

Smutstvätt skrev:
Hur menar du att hastigheten försvinner? Formeln som används är formeln för rörelsemängdens bevarande:

$m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = (m_{1} + m_{2}) v$

Om massorna är lika stora kan vi förkorta bort massan, men här är de ju inte lika stora, så det går inte. Rörelsemängden innan stöten är $m v + (- M v)$ , och efter stöten är rörelsemängden $(m + M) u$ , där u är kroppens hastighet efter stöten. Det ger oss ekvationen $v (m - M) = (m + M) u$ .

Rörelseenergin innan stöten är $\frac{m v^{2}}{2} + \frac{M {(- v)}^{2}}{2} = \frac{v^{2} (m + M)}{2}$ och efter stöten $\frac{(m + M) u^{2}}{2}$ .

Vi vet från formeln om rörelseenergi att rörelsemängden efter stöten var lika med $(m + M) u = v (m - M)$ , vilket ger oss att $u^{2} = \frac{v^{2} {(m - M)}^{2}}{{(m + M)}^{2}}$ . Substituering i rörelseenergiformeln ger då att:

$\frac{(m + M) u^{2}}{2} = \frac{(m + M) (\frac{v^{2} {(m - M)}^{2}}{{(m + M)}^{2}})}{2} = \frac{v^{2} {(m - M)}^{2}}{2 (m + M)}$

$\frac{E_{i n n a n} - E_{e f t e r}}{E_{i n n a n}} = \frac{\frac{v^{2} (m + M)}{2} - (\frac{v^{2} {(m - M)}^{2}}{2 (m + M)})}{\frac{v^{2} (m + M)}{2}} = \frac{\frac{v^{2} (m + M)}{2} - (\frac{v^{2} {(m - M)}^{2}}{2 (m + M)})}{\frac{v^{2} (m + M)}{2}} = \frac{(m + M) - \frac{{(m - M)}^{2}}{(m + M)}}{m + M} = \frac{{(m + M)}^{2} - {(m - M)}^{2}}{{(m + M)}^{2}}$

Edit: Minustecken åtgärdade. Tack för dina skarpa ögon, Ture!

Tusen tack!

Visa spoiler

Du är bäst! Jag menar det!

Svara

Visa senaste svar