MaFy 2019 uppgift 5

Vad får du $(1+2i)^2$ till och vad blir $(1-2i)^2$?

tomast80 skrev:

Vad får du $(1+2i)^2$ till och vad blir $(1-2i)^2$?

jag får att (1+2i)^2=1+4i-4=-3+4i och (1-2i)^2=1-4i+4i^2=1+4i-4=-3+4i

Nu vet jag ej om svaret är d) för att alternativen ger oss komplexa tal medan villkoret |w|=|z| är ett reelt tal vilket ej är samma sak som att de två komplexa är lika med varandra

Alla komplexa tal sådana att de har samma belopp kommer att ligga på en cirkel runt origo. Ser man det så kan man se att varken (a), (b) eller (c) stämmer för alla punkter på cirkeln.

Smaragdalena skrev:

Alla komplexa tal sådana att de har samma belopp kommer att ligga på en cirkel runt origo. Ser man det så kan man se att varken (a), (b) eller (c) stämmer för alla punkter på cirkeln.

om vi väljer z=1+2i så är dess belopp sqrt(5) och w=1-2i har också samma belopp. Men vad menar du med att de kommer ligga på en cirkel runt origo? Sen förstår jag ej vad du menar med a-c ej stämmer för alla punkter?

Rita in alla komlexa tal som har beloppet $\sqrt{5}$ i det komplexa talplanet. Lägg upp din bild här.

Smaragdalena skrev:

Rita in alla komlexa tal som har beloppet $\sqrt{5}$ i det komplexa talplanet. Lägg upp din bild här.

destiny99 skrev:

Smaragdalena skrev:

Rita in alla komlexa tal som har beloppet $\sqrt{5}$ i det komplexa talplanet. Lägg upp din bild här.

Är det där en cirkel? Ligger alla punkter på den på samma avstånd från centrum, d v s har samma belopp?

Smaragdalena skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Rita in alla komlexa tal som har beloppet $\sqrt{5}$ i det komplexa talplanet. Lägg upp din bild här.

Är det där en cirkel? Ligger alla punkter på den på samma avstånd från centrum, d v s har samma belopp?

Ja det är en cirkel. Ja alla har belopp sqrt(5). alla komplexa tal som är z1=1+2i , z2=-1+2i ,z3=-1-2i ,z4=1-2i.

Jag har markerat två godtyckliga punkter på bilden. Kan man vara säker på att (a), (b) eller (c) gäller för dem?

Smaragdalena skrev:

Jag har markerat två godtyckliga punkter på bilden. Kan man vara säker på att (a), (b) eller (c) gäller för dem?

Inte c) och b) men a) skulle gälla 

destiny99 skrev:

Smaragdalena skrev:

Jag har markerat två godtyckliga punkter på bilden. Kan man vara säker på att (a), (b) eller (c) gäller för dem?

Inte c) och b) men a) skulle gälla 

Menar du att mina båda prickar är på samma ställe? Jag ser två olika.

Smaragdalena skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Jag har markerat två godtyckliga punkter på bilden. Kan man vara säker på att (a), (b) eller (c) gäller för dem?

Inte c) och b) men a) skulle gälla 

Menar du att mina båda prickar är på samma ställe? Jag ser två olika.

Men vilka punkter är dessa och hur menar du att de ska förhålla sig till alternativen a-c? Ja jag ser att dessa två punkter är olika. 

destiny99 skrev:

Hej!

 

Om jag vet z=w=a+bi och |z|=|w|=sqrt(a^2+b^2) så tänker jag att z^2=w^2 borde stämma för tex  z=1+2i och w=1-2i. Dock förstår jag ej varför d) är rätt svar och hur man resonerar sig dit. 

Det gäller bara att finna undantag till a-c och du har visat att ingen av dessa gäller generellt.

a)

För z=1 och w=i gäller |z|=|w| men z=/=w då 1=/=i

b)

För z=1 och w=-1 gäller |z|=|w| men z^3=/=w^3 då 1=/=-1

c)

För z=1 och w=i gäller |z|=|w| men z^2=/=w^2 då 1=/=-1 (i^2=-1)

Alltså är d) svaret.

Trinity2 skrev:

destiny99 skrev:

Hej!

 

Om jag vet z=w=a+bi och |z|=|w|=sqrt(a^2+b^2) så tänker jag att z^2=w^2 borde stämma för tex  z=1+2i och w=1-2i. Dock förstår jag ej varför d) är rätt svar och hur man resonerar sig dit. 

Det gäller bara att finna undantag till a-c och du har visat att ingen av dessa gäller generellt.

a)

För z=1 och w=i gäller |z|=|w| men z=/=w då 1=/=i

b)

För z=1 och w=-1 gäller |z|=|w| men z^3=/=w^3 då 1=/=-1

c)

För z=1 och w=i gäller |z|=|w| men z^2=/=w^2 då 1=/=-1 (i^2=-1)

Alltså är d) svaret.

Aa det exemplet du kom på är bra att ha eftersom det bevisar att b) ej alltid stämmer eftersom mitt exempel visade att a) och c) stämde ej men b) stämmer och då stämmer även |z|=|w|

ett annat sätt att angripa uppgiften är att skriva de två komplexa talen i polär form

z = r(cos(v)+isin(v))

w = r(cos(q)+isin(q))

som har samma belopp (r) men olika argument skilt från 0

påstående a är falskt eftersom v är skilt från q

påstående b är falskt eftersom 2v är skilt från 2q

påstående c är falskt eftersom 3v är skilt från 3q

(z² = r²(cos(2v)+isin(2v)) )

Ture skrev:

ett annat sätt att angripa uppgiften är att skriva de två komplexa talen i polär form

z = r(cos(v)+isin(v))

w = r(cos(q)+isin(q))

som har samma belopp (r) men olika argument skilt från 0

påstående a är falskt eftersom v är skilt från q

påstående b är falskt eftersom 2v är skilt från 2q

påstående c är falskt eftersom 3v är skilt från 3q

 

(z² = r²(cos(2v)+isin(2v)) )

Var kommer 2v och 2q ifrån samt 3v och 3q? Var är dessa steg?

När du kvadrerat ett komplext tal, kvadrerat beloppet och argumentet fördubblas. 

Vid upphöjning till 3 höjs beloppet med 3 och argumentet multipliceras med 3

Ture skrev:

När du kvadrerat ett komplext tal, kvadrerat beloppet och argumentet fördubblas. 

Vid upphöjning till 3 höjs beloppet med 3 och argumentet multipliceras med 3

Jaha så beloppet kvadreras och argumentet fördubblas? Vad är det för regler som säger så? Är det detta?

Ja, de Moivres formel.

Dessutom gäller det generellt för komplexa tal att vid multiplikation av två tal multipliceras beloppen och argumenten summeras

kvadrering är ju en typ av multiplikation