mafy 2019 fråga 29 (Fel i facit ?)

Korra skrev:

(Lägg märke till att vinkeln heter C och motstående sida heter c (Versal och gemen)

Med hjälp av area satsen och cosinussatsen får jag fram följande: 
$$\begin{gathered} \frac{ab\sin C}{2}=S\iff \sin C=\frac{2S}{ab} \\ {c}^2=a^2+b^2-2ab\cos C \end{gathered}$$
Nu behöver jag uttrycka cosC

$$\begin{gathered} {\sin }^{2}C+{\cos }^{2}C=1\iff \cos C=\sqrt{1-{\sin }^{2}C} \\ \iff \cos C=\sqrt{1-\frac{4S^2}{a^2{b}^2}} \end{gathered}$$
Nu använder jag detta för att få fram sträckan c (AB) uttryckt i S, a & b
$$\begin{gathered} c^2=a^2+b^2-2ab\sqrt{1-\frac{4S^2}{a^2{b}^2}} \\ c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\sqrt{1-\frac{4S^2}{a^2{b}^2}}} \end{gathered}$$

Facit svarar: 


Jag fattar att man kan skriva om på följande sätt, men vad händer med minustecknet ?
$-2ab\sqrt{1-\frac{4S^2}{a^2{b}^2}}=-2\sqrt{a^2{b}^2}\sqrt{1-\frac{4S^2}{a^2{b}^2}}=-2\sqrt{a^2{b}^2-4S^2}$, har facit skrivit fel ? 

Jag tror jag vet varför. Vinkel C ligger mellan 90 och 180 grader så uttrycket för Cos(v) ska vara negativ Dvs cos(v)=- sqrt((a^2b^2-4S^2) /ab). Jag åkte också på den fällan. Nej facit har rätt. 

Intressant, ja det blir rätt om jag skulle ta hänsyn till att cosC < 0

Men varför spelar det någon roll ? Titta på detta exempel: 

I första steget skulle vi alltså istället kunna skriva: 
$$\begin{gathered} {12}^2=9^2+5^2+2·9·5\cos a \\ \iff \frac{{12}^2-9^2-5^2}{2·9·5}=\cos a \end{gathered}$$
, istället. Det skulle ge oss: $a\approx 65°$, det stämmer inte! 

Hur ska man förklara detta? 

Korra skrev:

I första steget skulle vi alltså istället kunna skriva: 
$$\begin{gathered} {12}^2=9^2+5^2+2·9·5\cos a \\ \iff \frac{{12}^2-9^2-5^2}{2·9·5}=\cos a \end{gathered}$$
, istället. Det skulle ge oss: $a\approx 65°$, det stämmer inte! 

Hur ska man förklara detta? 

Nej, ditt röda +ska vara -.

Ha alltid minus på blandtermen i cosinussatsen. Om vinkeln ör trubbig så blir cos(α) < 0 och då är -2bc*cos(α) > 0. 

Det låter jätte konstigt

Vad är skillnaden om jag skriver 
$$\begin{gathered} -2bc·\cos a \\ 2bc·\cos a \end{gathered}$$
när resultatet efter multiplikation ändå blir samma? 

Med mer eftertanke.
Jag tror att jag förstår, eftersom minustecknet isåfall är inbakat i cosa och inte kan användas förrän cos(a) skrivs om till ett tal.

Betyder detta att i mitt URSPRUNGLIGA värde för $cosC$ skulle jag kunna skriva: 
$\cos C=-\sqrt{1-\frac{4S^2}{a^2{b}^2}}$
istället för
$\cos C=\sqrt{1-\frac{4S^2}{a^2{b}^2}}$

När du beräknar cos(C) från trigettan så måste du välja 

$\cos C = -\sqrt{1-\sin^2C}$

eftersom du vet att C är trubbig. 

Dr. G skrev:

När du beräknar cos(C) från trigettan så måste du välja 

$\cos C = -\sqrt{1-\sin^2C}$

eftersom du vet att C är trubbig. 

Okej, najs. Tack så mycket 


Enligt dem som skriver mafy-provet ska detta vara gymnasienivå. Det är inte sant, bara för man använder koncept som tas upp i matte4 och under betyder det inte att det är gymnasienivå. Analysförmågan är det mycket större krav på i detta prov jämfört med ma4 proven. 

Enligt dem som skriver mafy-provet ska detta vara gymnasienivå. Det är inte sant, bara för man använder koncept som tas upp i matte4 och under betyder det inte att det är gymnasienivå. Analysförmågan är det mycket större krav på i detta prov jämfört med ma4 proven.

Jag tror att detta är helt avsiktligt. Man är ute efter att hitta blivande ingenjörsstudenter som har ovanligt bra analysförmåga, även om de inte har fått högsta betyg i t ex idrott eller historia.

Smaragdalena skrev:

Enligt dem som skriver mafy-provet ska detta vara gymnasienivå. Det är inte sant, bara för man använder koncept som tas upp i matte4 och under betyder det inte att det är gymnasienivå. Analysförmågan är det mycket större krav på i detta prov jämfört med ma4 proven.

Jag tror att detta är helt avsiktligt. Man är ute efter att hitta blivande ingenjörsstudenter som har ovanligt bra analysförmåga, även om de inte har fått högsta betyg i t ex idrott eller historia.

Intressant aspekt. Även om Hörmander ansåg att geometri var grunden till allt och mycket viktig (och Sjögren och Sandberg skall vi inte ens tala om) så ansåg Carleson att geometrin från f.d. Studentexamen (1864-1969) var helt absurd. Jag vet eg. inte vad detta problem vill visa. Denna typ av problem dog ut på 50-talet. Isf finns runt 4000 problem från Stud.ex. att "återvinna", och många av dem är - med dagens mått och kursinnehåll mätt - mycket svåra. Som Korra skriver finns det få problem av "generell natur" i dagens mattekurser. De är ofta numeriska.

Smaragdalena skrev:

Enligt dem som skriver mafy-provet ska detta vara gymnasienivå. Det är inte sant, bara för man använder koncept som tas upp i matte4 och under betyder det inte att det är gymnasienivå. Analysförmågan är det mycket större krav på i detta prov jämfört med ma4 proven.

Jag tror att detta är helt avsiktligt. Man är ute efter att hitta blivande ingenjörsstudenter som har ovanligt bra analysförmåga, även om de inte har fått högsta betyg i t ex idrott eller historia.

Ja, det är perfekt för mig som har 13 merit.