mafy 2019 fråga 20

b) vad beskriver HL? VL?

Tillägg: 16 apr 2024 10:51

c) utgå från Pythagoras och dela med a²b². Vad blir HL?

Dr. G skrev:

b) vad beskriver HL? VL?

---

Tillägg: 16 apr 2024 10:51

c) utgå från Pythagoras och dela med a²b². Vad blir HL?

Bra strategi, ska försöka så

Dr. G skrev:

b) vad beskriver HL? VL?

---

Tillägg: 16 apr 2024 10:51

c) utgå från Pythagoras och dela med a²b². Vad blir HL?

b) Ser inte sambandet 
c) hur ska jag använda pythagoras sats och inkludera a och b i samma uttryck ?

b)

HL är alltid dubbla arean.

När är VL dubbla arean?

c)

Här tänkte jag lite fel, återkommer. 

Fattar!  Tack 

b) absinC, då är den dubbla arean. Eftersom det inte är fallet stämmer därmed inte b? 

Precis,  b) gäller bara i en rätvinklig triangel. 

c)

Enligt din figur är 

h = a*sin(B) = b*sin(A)

Uttryck a och b i h och vinklar, så kan ekvationen skrivas om som 

sin²(A) + sin²(B) = 1

$$\begin{gathered} a=\frac{h}{\sin B} \\ b=\frac{h}{\sin A} \\ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}\iff \frac{1}{{\left(\frac{h}{\sin A}\right)}^2}+\frac{1}{{\left(\frac{h}{\sin B}\right)}^2}=\frac{1}{\left(\frac{h}{\sin B}\right)\left(\frac{h}{\sin A}\right)} \end{gathered}$$

Du menar att c) kan skrivas sådär? ser inte sambandet 

I HL så har du ju bara 1/h².

Dr. G skrev:

I HL så har du ju bara 1/h².

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}\iff \frac{1}{{\left(\frac{h}{\sin A}\right)}^2}+\frac{1}{{\left(\frac{h}{\sin B}\right)}^2}=\frac{1}{h^2}$

Ja, sen då
Hur kan jag visa att detta stämmer ? 

Förkorta bort h² och förenkla bråken till 

sin²(A) + sin²(B) = 1

Eller 

sin²(A) = 1 - sin²(B) = cos²(B)

då gäller det att

sin(A) = ±cos(B) =±sin(90° - B) = sin(±(90° - B))

De relevanta lösningarna är 

A + B = 90°, som ger C = 90°, så rätvinklig 

eller

A - B = ±90°, vilket ger en trubbig vinkel i triangeln. 

$$\begin{gathered} \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}\iff \frac{1}{{\left(\frac{h}{\sin A}\right)}^2}+\frac{1}{{\left(\frac{h}{\sin B}\right)}^2}=\frac{1}{h^2} \\ \iff \frac{{\sin }^{2}A}{h^2}+\frac{{\sin }^{2}B}{h^2}=\frac{1}{h^2}\iff \frac{1}{h^2}=\frac{1}{h^2} \end{gathered}$$

Ja, tack!