MAFY 2018 Uppgift 18

Vad händer om du kvadrerar det där talet?
Kan den kvadraten vara lika med kvadraten på något av talen  (a) – (c) ?

(Bara ett infall)

Arktos skrev:

Vad händer om du kvadrerar det där talet?
Kan den kvadraten vara lika med kvadraten på något av talen  (a) – (c) ?

(Bara ett infall)

$$\begin{gathered} {\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}}}^2=\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \\ sedan förenklar jag genom att multiplicera med konjugatet av nämnaren \\ \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}\times \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\frac{4-2\sqrt{2}+2}{4-2}=\frac{6-2\sqrt{2}}{2}=3-\sqrt{2} \end{gathered}$$

Så långt kom jag, denna likhet känner jag inte igen än. Nästa ledtråd? :)

Använd uteslutningsmetoden, givet att du räknat rätt, så har du kommit fram till 3-2^0,5 vilket blir cirka 1,6, dra roten ur det vilket blir >1

Är något av alternativen a till c större än 1?

Edit: Nej det var ingen bra ide, när jag ser på ursprungsuttrycket så är det rimligen  < 0

Snyggt.
Då har vi utvecklat en möjlighet. Finns den med i någon formelsamling?
(a) kan vi utesluta på en gång, tg(45°) = 1.

Finns det någon formel för dubbla vinkeln /halva vinkeln?
Då kan man kolla tg(45°) gentemot tg(22,5°)

[Jag såg inte Tures inlägg!]

Beräkningen av $\tan \frac{\mathrm{\pi }}{8}$blir ju krångligt ska försöka...

$$\begin{gathered} \tan \frac{A}{2} =\sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} \\ men vi behöver \\ {\sqrt{\frac{1-\cos 45°}{1+\cos 45°}}}^2=\frac{1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}/\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}= \\ \frac{(\sqrt{2}-1)\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times (\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} \\ nu behöver vi multiplicera konjugatet från nämnaren \\ \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\times \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=\frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1}=\frac{3+2\sqrt{2}}{1}=3+2\sqrt{2} \end{gathered}$$

Någonting gick snett

Men du är väl framme!

Förläng med roten ur två och kolla

Gjorde allt fel här är min korrekta lösning från det första inlägget

$$\begin{gathered} {\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}}}^2=\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \\ sedan rationaliserar man talet \\ \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} \\ nu förenklar jag med konjugatet av nämnaren \\ \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\times \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=\frac{2+2\sqrt{2}+1}{1}=3+2\sqrt{2} \end{gathered}$$

Arktos skrev:

Men du är väl framme!

Förläng med roten ur två och kolla

Tusen tack för hjälpen!

Nu hoppas jag att andra elever kan enkelt söka upp lösningen i framtiden :)

Hur kunde vi ha gjort det enklare?
Man får väl inte använda räknare på ett sånt här prov?
Vi kanske skulle ha förkortat bråket med sqrt(2) redan från början? 
För att utgå från så enkel form som möjligt av det givna talet.

Och att kvadrera det så vi slipper roten ur rotuttryck 

Men huvudtricket här är väl formeln för tan(A/2) för att kolla tan(π/8)
Och för dubbla vinkeln om vi hade behövt kolla tan(π/12).

Man har väl tillgång till formelsamling?

Arktos skrev:

Hur kunde vi ha gjort det enklare?
Man får väl inte använda räknare på ett sånt här prov?
Vi kanske skulle ha förkortat bråket med sqrt(2) redan från början? 
För att utgå från så enkel form som möjligt av det givna talet.

Och att kvadrera det så vi slipper roten ur rotuttryck 

Men huvudtricket här är väl formeln för tan(A/2) för att kolla tan(π/8)
Och för dubbla vinkeln om vi hade behövt kolla tan(π/12).

Man har väl tillgång till formelsamling?

Nej, man har inte tillgång till formelsamling på provet. Lite kul hur de tänker kring att man ska memorera över 100 formler :)

Trots allt är provet riktat mot personer med stort intresse för matte och fysik som verkligen kämpar. En annan sak är att visa saker lär man sig inte ens i gymnasiet, tex halva vinkeln för tangens, herons formler, areaformel för en åttahörning och en massa annat. Känns lite drygt att när de skriver på deras hemsida att all matte upp till Matematik 4 räcker fastän det inte faktiskt är så :/ Dessutom finns det tidspress. Men jag ska inte kritisera dem mera, måste fortsätta plugga ... surprise matematik.