Mafy 2017 uppgift 26

$$\begin{gathered} 2a^2-x^2=4-4x+x^2 \\ 2x^2-4x+4=2a^2 \\ 2x^2-4x+(4-2a^2)=0 \end{gathered}$$

Titta på diskriminanten för lösningarna till andragradsekvationen så får du för vilka a som den har reella lösningar.

naytte skrev:

$$\begin{gathered} 2a^2-x^2=4-4x+x^2 \\ 2x^2-4x+4=2a^2 \\ 2x^2-4x+(4-2a^2)=0 \end{gathered}$$

Titta på diskriminanten för lösningarna till andragradsekvationen så får du för vilka a som den har reella lösningar.

Om diskriminanten är större än 0 så får vi två reella lösningar 

dvs då x=1+-sqrt(1-(2-a^2))

så 1+-sqrt( (a^2-1)>=0

vi får 2 lösningar på a ,ena då 

a>=0 eller då 1-sqrt(a^2-1)>=0

Ledtråd:

Ekvationen för en cirkel med radien $\sqrt{2}a$ är

$x^2+y^2=2a^2$

Löser vi ut y som funktion av x i den första kvadranten (eller egentligen övre halvplanet) får vi kurvan

$y=\sqrt{2a^2-x^2}$

D4NIEL skrev:

Ledtråd:

Ekvationen för en cirkel med radien $\sqrt{2}a$ är

$x^2+y^2=2a^2$

Löser vi ut y som funktion av x i den första kvadranten (eller egentligen övre halvplanet) får vi kurvan

$y=\sqrt{2a^2-x^2}$

 

Jag vet att detta är en gammal inlägg ,men såhär gjorde jag nu. När jag provar att sätta in tex a=2 osv så får jag att ekvationen har två olika reella lösningar. Det kluriga dock är hur man ska avgöra det rätta svaret om man kan avgöra rätt värde på a då facit valde a=sqrt(2) ,min tanke är om a=sqrt(2) funkar så borde även a=2 funka osv. Jag vet ej om metoden med teckentabell är logiskt 

Det är korrekt att $a^2\ge 1$ är ett nödvändigt villkor. Men det är inte det starkaste villkoret.

Notera att vi letar efter det största tänkbara värdet på $a$. Du behöver därför inte bekymra dig om negativa värden på $a$ utan kan lugnt utgå från din slutsats att $a>1$.

Frågan är hur stort $a$ kan bli? Ett sätt att räkna ut det är att låta $x$ anta det största värde för vilket ursprungsekvationen är definierad. Kan du hitta ett sådant $x$? Vilket villkor ställer det på $a$?

Jag har också gjort en graf åt dig, med vänsterledet som en röd halvcirkel och högerledet som en linje. Om du drar i reglaget för $a$ ändrar cirkeln radie. Beroende på hur stor eller liten du gör halvcirkeln blir det ingen skärning, en ensam skärning eller två skärningar mellan cirkelbågen och linjen.

Här är Desmosgrafen: https://www.desmos.com/geometry/sfpd53qgyp

D4NIEL skrev:

Det är korrekt att $a^2\ge 1$ är ett nödvändigt villkor. Men det är inte det starkaste villkoret.

Notera att vi letar efter det största tänkbara värdet på $a$. Du behöver därför inte bekymra dig om negativa värden på $a$ utan kan lugnt utgå från din slutsats att $a>1$.

Frågan är hur stort $a$ kan bli? Ett sätt att räkna ut det är att låta $x$ anta det största värde för vilket ursprungsekvationen är definierad. Kan du hitta ett sådant $x$? Vilket villkor ställer det på $a$?

 

Jag har också gjort en graf åt dig, med vänsterledet som en röd halvcirkel och högerledet som en linje. Om du drar i reglaget för $a$ ändrar cirkeln radie. Beroende på hur stor eller liten du gör halvcirkeln blir det ingen skärning, en ensam skärning eller två skärningar mellan cirkelbågen och linjen.

Här är Desmosgrafen: https://www.desmos.com/geometry/sfpd53qgyp

Jag satte VL=HL=0 och löste ut var för sig. Sen fick jag HL ger x=2  och då blir a =-+sqrt(2)