MAFY 2016 Uppgift 3

Det hjälper väl om man vet att 

$a^3 +b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

och sedan använder dubbla vinkeln för sinus. 

Dr. G skrev:

Det hjälper väl om man vet att 

$a^3 +b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

och sedan använder dubbla vinkeln för sinus. 

Tackar! Varför tänkte jag inte på det.

Jag skulle nog blanda uteslutningsmetoden och att utveckla svarsalternativen. c) kan vi utesluta direkt med hänsyn till kvadreringsreglerna (fast för kuber, men $a^k+b^k\ne {\left(a+b\right)}^k, k>1, a,b\in \mathrm{ℝ}$ gäller oavsett). Då är det a) eller b) som vi behöver kika på. I parenteserna i a) finns inga negativa tal, vilket innebär att risken för att några termer ska ta ut varandra är liten.  Det kan absolut vara värt att dubbelkolla huruvida a) är korrekt, om vi skulle notera att b) inte är korrekt, men börja med b).

Så, b). Utveckling av uttrycket ger oss: 

$$\begin{gathered} \left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)·\frac{2-\sin 2\alpha }{2}=\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)·\frac{2-2·\sin \alpha ·\cos \alpha }{2}= \\ \left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)·\left(1-\sin \alpha ·\cos \alpha \right)=\sin \alpha +\cos \alpha -{\sin }^2\alpha ·\cos \alpha -\sin \alpha ·{\cos }^2\alpha = \\ \sin \alpha +\cos \alpha -\left(1-{\cos }^2\alpha \right)\cos \alpha -(1-{\sin }^2\alpha )\sin \alpha ={\cos }^{3}x+{\sin }^{2}x \end{gathered}$$

Smutstvätt skrev:

Jag skulle nog blanda uteslutningsmetoden och att utveckla svarsalternativen. c) kan vi utesluta direkt med hänsyn till kvadreringsreglerna (fast för kuber, men $a^k+b^k\ne {\left(a+b\right)}^k, k>1, a,b\in \mathrm{ℝ}$ gäller oavsett). Då är det a) eller b) som vi behöver kika på. I parenteserna i a) finns inga negativa tal, vilket innebär att risken för att några termer ska ta ut varandra är liten.  Det kan absolut vara värt att dubbelkolla huruvida a) är korrekt, om vi skulle notera att b) inte är korrekt, men börja med b).

Så, b). Utveckling av uttrycket ger oss: 

$$\begin{gathered} \left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)·\frac{2-\sin 2\alpha }{2}=\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)·\frac{2-2·\sin \alpha ·\cos \alpha }{2}= \\ \left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)·\left(1-\sin \alpha ·\cos \alpha \right)=\sin \alpha +\cos \alpha -{\sin }^2\alpha ·\cos \alpha -\sin \alpha ·{\cos }^2\alpha = \\ \sin \alpha +\cos \alpha -\left(1-{\cos }^2\alpha \right)\cos \alpha -(1-{\sin }^2\alpha )\sin \alpha ={\cos }^{3}x+{\sin }^{2}x \end{gathered}$$

Ja, jag började med uteslutningsmetoden då klurade jag på om det var b eller d,  men på grund av att jag inte fick till det på första försöket till b valde jag d. Åtminstone blev jag påmind om algebraiska identiteter, jag skriver ner alla viktiga algebraiska identiteter!