Mafy 2016 Uppgift 29

Du har förstått uppgiften rätt.

Känner du till cosinussatsen?

Yngve skrev:

Du har förstått uppgiften rätt.

Känner du till cosinussatsen?

Såhär tänkte jag:

 Låt $a$ och $b$ vara längderna av rektangelns sidor. Vi vet att diagonalen $d$ är hypotenusan i en rätvinklig triangel med sidorna $a$ och $b$, så enligt Pythagoras sats har vi:

$d^2 = a^2 + b^2$

Vi kan också använda cosinussatsen på denna triangel med vinkeln $\alpha$ mellan diagonalerna:

$d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha$

Sätter vi ihop dessa två ekvationer får vi:

$a^2 + b^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha$

Hur gör man sen då?

Enklare är nog att titta på halva rektangeln. Om den sökta sidan  är x så gäller

$\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right) = \frac{x}{d}$

sen vet vi att 
${\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right) =\hspace{0.17em}\frac{1+\cos \left(\alpha \right)}{2}$

så efter lite räknande borde du få fram svaret

Dani163 skrev:

Såhär tänkte jag:

 Låt $a$ och $b$ vara längderna av rektangelns sidor. Vi vet att diagonalen $d$ är hypotenusan i en rätvinklig triangel med sidorna $a$ och $b$, så enligt Pythagoras sats har vi:

$d^2 = a^2 + b^2$

Ja, det stämmer (men du behöver inte använda detta samband, se nedan)

Vi kan också använda cosinussatsen på denna triangel med vinkeln $\alpha$ mellan diagonalerna:

$d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha$

Menar du triangeln med kateter a och b samt hypotenusa d?

I så fall är den till d motstående vinkeln 90° och cosinussatsen ger oss enbart d² = a² + b² - 2ab•cos(90°), vilket är samma sak som Pythagoras sats.

Sätter vi ihop dessa två ekvationer får vi:

$a^2 + b^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha$

Hur gör man sen då?

Jag tänkte att du skulle använda cosinussatsen på den i bilden markerade triangeln. Sidan a är motstående vinkeln $\alpha$

Yngve skrev:

Jag tänkte att du skulle använda cosinussatsen på den i bilden markerade triangeln. Sidan a är motstående vinkeln $\alpha$

Japp, då får jag det till:

$a = \sqrt{2\left(\frac{d}{2}\right)^2 - d \cos\left(\alpha\right)}$ 

Förenklar vi det får vi:

$a = \sqrt{2} \cdot \frac{d}{2} - \sqrt{d \cdot \cos\left(\alpha\right)} \Leftrightarrow a = \frac{d}{\sqrt{2}} - \sqrt{d \cdot \cos\left(\alpha\right)}$

Vad blir då nästa steg? Att skriva om $\cos\left(\alpha\right)$ i termer av diagonalen $d$ och hypotenusan $a$? Eller behöver vi ha en rätvinklig triangel först (har vi det?)

Det ska vara $\frac{d}{2}\times \frac{d}{2}\times \cos \left(\alpha \right)$, inte $d\times \cos \left(\alpha \right)$

Det blir: $a=\sqrt{\frac{d^2}{4}+\frac{d^2}{4}-2\times \frac{d^2}{4}\times p}=\sqrt{\frac{d^2}{2}-\frac{d^2}{2}\times p}=\sqrt{\frac{d^2}{2}\times \left(1-p\right)}=\frac{d\sqrt{2}}{2}\times \sqrt{1-p}$