MaFy 2016, uppgift 22.
Hej alla!
Oklart om jag ens tänker rätt på denna,
hur hade ni gjort?
Blir det inte bra med a = 2?
Du har visat för vilka a som ekvationen har två reella rötter och det är en bra början för är de inte reella så är de inte positiva. Men uppgiften är ju att bestämma a som ger positiva rötter vilket eventuellt är färre a:n.
Sen har du ju inte beaktat fallet a=1 (det föll ju bort när du dividerade med a-1) det ger ju ekvationen -x+1=0 vars alla (enda) rot är positiv.
För att rötterna ska vara positiva så måste:
a/(2(a-1)) >= 0 annars är garanterat minst en rot negativ.
dessutom måste a/(2(a-1)) >= diskriminanten, annars blir en rot negativ
dessutom måste diskriminanten vara >= 0 för alla a (vilket den faktiskt är i detta fall, undantag för a = 1)
Slutligen må du kolla vad som händer när a = 1
Hej,
Fall 1. Parametern a=1. Ekvationen är 1-x=0 som har en positiv lösning.
Fall 2. Parametern a≠1. Dividera ekvationen med talet (a-1) och inför beteckningarna 2b=a/(a-1) och c=1/(a-1) så att ekvationen kan skrivas
x2-2bx+c=0
Kvadratkomplettering ger ekvationen
(x-b)2+(c-b2)=0
från vilken framgår att en enda lösning finns precis då c=b2 och att två lösningar finns precis då c<b2; ifall c>b2 saknas lösningar.
Då a=1 har ekvationen den positiva lösningen x=1
Då a≠1 kan man dela båda led med (a-1) och får då
x2-aa-1x+1a-1=0
Andragradsekvationen löser vi trivialt med t.ex. pq-formeln
x12=a±(a-2)2(a-1)
x1=1,
Nu är det enkelt att se att är ett krav för att ska vara positiv. Detta tillsammans med den första iakttagelsen ( ger en positiv lösning) gör att vi kan dra slutsatsen att är det sökta heltalet.