MAFY 2016 Uppgift 12

Det som du gör i ovanstående uträkning är att undersöka om x=0 är en lösning till ekvationen.

Det du kommer fram till är att så inte är fallet.

Detta säger bara att x=0 inte är en lösning; det säger ingenting om hur många andra eventuella lösningar som finns.

Det du bör göra att försöka förenkla uttrycket utan att sätta in ett värde på x.

Steg 1 borde vara att om 

$\ln \left(ditten\right)=datten$

borde

$e^{\ln \left(ditten\right)}=e^{datten}$

och även

$e^{\ln \left(ditten\right)}=ditten=e^{datten}$

Applicera ovanstående resonemang två gånger för att bli av med de två logaritmerna.

$$\begin{gathered} \ln \left(\ln \right(2^{2x}-2^x+1\left)\right)=0 \\ \ln (2^{2x}-2^x+1)=e^0 \\ \ln (2^{2x}-2^x+1)=1 \\ {2}^{2x}-2^x+1=e \\ {2}^{2x}-2^x=e-1 \\ {2}^x(2^2-2^1)=e-1 \\ {2}^x\left(2\right)=e-1 \\ {2}^x=\frac{e-1}{2} \\ x=l{g}_2\frac{e-1}{2} \end{gathered}$$redan från nästa fjärde sista raden kan man då konstatera att det finns endast en lösning

martinmaskin2 skrev:

$$\begin{gathered} 2^{2x}-2^x=e-1 \\ {2}^x(2^2-2^1)=e-1 \end{gathered}$$redan från nästa fjärde sista raden kan man då konstatera att det finns endast en lösning

Nu blir det dock fel:

$2^x(2^2-2^1)= 2^x*2^2- 2^x*2^1=2^{x+2}-2^{x+1}\ne 2^{2x}-2^x$

Du kan ansätta att $2^x=y$för att komma framåt.

$$\begin{gathered} 2^{2x}-2^x=e-1 om y=2^x \\ {y}^2-y+1-e=0 \\ -\frac{-1}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{-1}{2}\right)}^2-1+e}=\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{5+4e}{4}} \\ =\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{5+4e}}{2}=y \\ \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{5+4e}}{2} är falsk eftersom 2^x inte kan bli till ett negativt tal \\ därmed har vi ett svar:\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5+4e}}{2}=y 2^x=y \\ l{g}_2\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5+4e}}{2} är rätt svar \end{gathered}$$