Mafy 2015 uppgift 2

Din första metod är inte korrekt, vilket däremot metod 2 är

Hur resonerar du i metod 1?

Henning skrev:

Din första metod är inte korrekt, vilket däremot metod 2 är

Hur resonerar du i metod 1?

Jag skrev om sqrt(3+2sqrt(2)) mha första kvadreringsregeln där jag satte a=1 b=sqrt(2) och samma sak med andra uttrycket fast med andra kvadreringsregeln. Varför är det sättet fel?

Om jag förstår din avsikt rätt så kvadrerar du uttrycket under rottecknet men då måste du för att behålla ursprungsvärdet också dra kvadratroten ur allt detsamma, dvs du får då 2 kvadratrötter, vilket du inte har skrivit.

Dessutom tycker jag mig se att du ersätter 3-an med en 1-a

Henning skrev:

Om jag förstår din avsikt rätt så kvadrerar du uttrycket under rottecknet men då måste du för att behålla ursprungsvärdet också dra kvadratroten ur allt detsamma, dvs du får då 2 kvadratrötter, vilket du inte har skrivit.

Dessutom tycker jag mig se att du ersätter 3-an med en 1-a

Jag tror du ser fel.. låt mig göra en tydligare lösning på metod 1 så kan vi gå igenom vad du menar att jag har missat.

okej

Henning skrev:

okej

Nu ser jag vilket (smart) drag du gjort

Men någonstans på vägen gör man något otillåtet - men jag kan inte se vad.

Om du beräknar uttrycket som är givet får du svar enligt alternativ 1) som svar

Återkommer om jag hittar felet

Henning skrev:

Nu ser jag vilket (smart) drag du gjort

Men någonstans på vägen gör man något otillåtet - men jag kan inte se vad.

Om du beräknar uttrycket som är givet får du svar enligt alternativ 1) som svar

Återkommer om jag hittar felet

Ja om man approximerar ungefär  hela x uttrycket givet från uppgidten  så får man som svar a). Det betyder att två metoder ger att a) är rätt medan min metod nu gör ej det.Ja absolut du är välkommen att återkomma till mig när du hittat felet.

Roten ur $(1-\sqrt{2})^2$ är inte $1-\sqrt{2}$, för det är negativt. 

Tack för denna insikt, Laguna

Laguna skrev:

Roten ur $(1-\sqrt{2})^2$ är inte $1-\sqrt{2}$, för det är negativt. 

Hm okej det var konstigt för jag tänkte på att roten ur (1-sqrt(2)) i kvadrat gör så att den tar ut själv rottecknet. Sen förstår jag ej för något negativt i kvadrat blir positivt. Något under roten ur är alltid positivt. Men det som är i kvadrat under roten ur ska väl göra så att vi får tillbaka talet vi började med. Säg a=-3 sqrt(-3)^2=sqrt(9)=3. Där får vi ej tillbaka samma tal

Jag kollade precis på en youtube video där någon förklarade på engelska att outputen av roten ur något kan ej vara negativt vilket blir fallet med (1-sqrt(2)) så man behöver istället skriva som (sqrt(2)-1). Då får man ju också att a) är rätt svar. 

Du kan inte säga att du skriver $1-\sqrt{2}$ som $\sqrt{2}$ - 1 därför att roten måste vara positiv.
De uttrycken är inte lika.

Men (1 - $\sqrt{2}$)² = ($\sqrt{2}$ - 1)² och roten ur det sista blir $\sqrt{2}$ - 1, så att sista raden i #7 verkligen ger svarsalternativ (a).

Louis skrev:

Du kan inte säga att du skriver $1-\sqrt{2}$ som $\sqrt{2}$ - 1 därför att roten måste vara positiv.
De uttrycken är inte lika.

Men (1 - $\sqrt{2}$)² = ($\sqrt{2}$ - 1)² och roten ur det sista blir $\sqrt{2}$ - 1, så att sista raden i #7 verkligen ger svarsalternativ (a).

Jag håller med om att uttrycken är ej lika. Det var dock ej det jag menade. Jag sa ej att 1-sqrt(2)=sqrt(2)-1. Det är ej sant. Men håller med om att uttrycken i kvadrat är lika med varandra . Han på youtube sa man ska ej välja  1-sqrt(2) och kvadrera det för att likställa med sqrt(sqrt(3)-2) eftersom 1-sqrt(2) är negativt svar medan  sqrt(sqrt(3)-2)) är positivt. Jag kan länka hela den videon här. 

https://youtu.be/VqRmob1dsCE?si=lp5xlLhu4PkEl0Iv

Ok. Kanske ändå blir tydligare om du i #7, sista raden, skjuter in ett led med
 $\sqrt{{(1+\sqrt{2})}^2}$ + $\sqrt{{(\sqrt{2}-1)}^2}$. Det ger svaret utan ytterligare resonemang.

Det var ju verkligen observant och smart att du såg hur man kunde skriva om uttrycken som kvadrater.

Tillägg: 26 aug 2023 17:46

Eller bättre: ställt upp det uttrycket från början (på sista raden),
eftersom $1 - 2\sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2$ lika gärna kan skrivas som uttrycket under andra rottecknet.

För att förtydliga resonemangen ovan försöker jag på följande sätt -

Ena kvadreringsregeln ger:
${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2 ..\left(1\right)$

${(b-a)}^2=b^2-2ab +a^2 ...\left(2\right)$

Om b>a blir den 2-a parentesen negativ, medan båda uttrycken ger samma resultat i högerledet (termernas ordning påverkar inte värdet)

I metod 1 ovan är 2-a uttrycket $\sqrt{3-2\sqrt{2}}$, där uttrycket under rottecknet är >0
Uttrycket under rottecknet skrivs om för att kunna använda kvadreringsregeln 'baklänges'
Dvs $3-2\sqrt{2}=1-2\sqrt{2}+2=1-2\sqrt{2}+({\sqrt{2)}}^2$
Detta kan med 'baklängestänk' skrivas ${(1-\sqrt{2})}^2 eller {(\sqrt{2}-1)}^2$

Det 1-a uttrycket i parentesen är <0 medan det 2-a är >0

Det första uttrycket förkastas eftersom ursprungsuttrycket är positivt och att man inte jobbar med roten ur negativa tal i denna del av matten

Slutsatsen blir att $\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$

Henning skrev:

För att förtydliga resonemangen ovan försöker jag på följande sätt -

Ena kvadreringsregeln ger:
${(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2 ..\left(1\right)$

${(b-a)}^2=b^2-2ab +a^2 ...\left(2\right)$

Om b>a blir den 2-a parentesen negativ, medan båda uttrycken ger samma resultat i högerledet (termernas ordning påverkar inte värdet)

I metod 1 ovan är 2-a uttrycket $\sqrt{3-2\sqrt{2}}$, där uttrycket under rottecknet är >0
Uttrycket under rottecknet skrivs om för att kunna använda kvadreringsregeln 'baklänges'
Dvs $3-2\sqrt{2}=1-2\sqrt{2}+2=1-2\sqrt{2}+({\sqrt{2)}}^2$
Detta kan med 'baklängestänk' skrivas ${(1-\sqrt{2})}^2 eller {(\sqrt{2}-1)}^2$

Det 1-a uttrycket i parentesen är <0 medan det 2-a är >0

Det första uttrycket förkastas eftersom ursprungsuttrycket är positivt och att man inte jobbar med roten ur negativa tal i denna del av matten

Slutsatsen blir att $\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$

Dock vet jag ej om det är fel att tänka att något under roten ur som är negativt i kvadrat ger oss något positivt svar? Tex sqrt((-3)^2)= sqrt(9)=3. Jag gjorde den jämförelsen med 1-sqrt(2)