Mafy 2015 uppgift 10

Du fick antagligen att vänsterledet är negativt för x = 0 och positivt för 1 och 2. Då måste det i alla fall finnas en lösning mellan 0 och 1.

Men hur man vet att det bara är en ser jag inte just nu.

$9^x$ är klart termen som dominerar när $x \rightarrow \infty$, vi ser detta redan för $x=2$, det finns inte en chans att $6^x-2^{2x+1} > 9^x$ för $x \geq 2$. Så den enda lösningen(arna) måste vara innan $x=2$.

Problemet blir nog att man då måste visa att det inte finns en lösning för $x <>$.

Dracaena skrev:

$9^x$ är klart termen som dominerar när $x \rightarrow \infty$, vi ser detta redan för $x=2$, det finns inte en chans att $6^x-2^{2x+1} > 9^x$ för $x \geq 2$. Så den enda lösningen(arna) måste vara innan $x=2$.

Problemet blir nog att man då måste visa att det inte finns en lösning för $x <>$.

Det var därför jag funderade hur man löser detta algebraiskt som jag var inne på. Då kan man se vilka lösningar som ej är giltiga och vilka som är giltiga.

Nu vet jag: man kan sätta a = 3^x och b = 2^x.

Till sist får man en exakt lösning. Kan du göra något med detta eller ska jag visa?

Laguna skrev:

Nu vet jag: man kan sätta a = 3^x och b = 2^x.

Till sist får man en exakt lösning. Kan du göra något med detta eller ska jag visa?

Då får vi a^2-ab-2b=0. Hur löser man det? Ska man betrakta b som en konstant?

Jag får då detta

Bra försök, men nej, a och b beror ju av varandra. Men vi kan få uttrycket att bli nånting i kvadrat minus nånting. Det liknar ju redan a² -2ab + b² en smula.

Nånting som börjar a² - ab kan vara kvadraten av (a - b/2). Vi får

(a - b/2)² - 9b²/4

Laguna skrev:

Bra försök, men nej, a och b beror ju av varandra. Men vi kan få uttrycket att bli nånting i kvadrat minus nånting. Det liknar ju redan a² -2ab + b² en smula.

Nånting som börjar a² - ab kan vara kvadraten av (a - b/2). Vi får

(a - b/2)² - 9b²/4

Nu hänger jag ej med..

Kvadratkomplettering. Vad får du om du expanderar (a- b/2)²?

Laguna skrev:

Kvadratkomplettering. Vad får du om du expanderar (a- b/2)²?

Jag missade en sak så nu fick jag såhär. Men det verkar som att det är bättre med kvadratkomplettering enligt dig?

Din metod borde också funka, men du använder pq-formeln fel. Det ska vara b/2, inte ab/2.

Laguna skrev:

Din metod borde också funka, men du använder pq-formeln fel. Det ska vara b/2, inte ab/2.

Jaha för att a är vår x typ och b är något konstant?

Ja, man kan betrakta b som konstant när man löser ut a.

Kvadratkomplettering är ju egentligen samma sak som pq-formeln, så jag kanske föreslog en omväg.

Nu fick jag a1=2b och a2=-b. Den negativa lösningen förkastas pga ln är ej definierad för negativa talså då återstår det bara en lösning. 

Ja. För att gå i mål får man lösa a = 2b också, så man bevisar att den bara har en lösning.

Laguna skrev:

Ja. För att gå i mål får man lösa a = 2b också, så man bevisar att den bara har en lösning.

Ja det gjorde jag. Då fick jag en lösning bara. Tack!

Laguna skrev:

Bra försök, men nej, a och b beror ju av varandra. Men vi kan få uttrycket att bli nånting i kvadrat minus nånting. Det liknar ju redan a² -2ab + b² en smula.

Nånting som börjar a² - ab kan vara kvadraten av (a - b/2). Vi får

(a - b/2)² - 9b²/4

Jag förstår ej hur du kvadratkompletterade för jag får endast såhär a^2-ab+(b/2)^2=2b^2+b^2/4

Ja, 2 + 1/4 är ju 9/4.

Laguna skrev:

Ja, 2 + 1/4 är ju 9/4.

Ok då vet jag.