Mafy 2014 uppgift 29

Blev det rätt? 

30° och 150° är supplementvinklar och har samma sinusvärde. 

Tillägg: 15 dec 2023 21:45

Om man ritar lite och låter b > a så ser man att 

a/b = tan(15°)

Det går att räkna ut med halvvinkelformlerna. 

Annars har du att arean är ab, men också

c²sin(30°)/2

där c är diagonalens längd. Det ger a/b. 

Dr. G skrev:

Blev det rätt? 

30° och 150° är supplementvinklar och har samma sinusvärde. 

Nej rätt svar är 6sqrt(2).

Dr. G skrev:

Blev det rätt? 

30° och 150° är supplementvinklar och har samma sinusvärde. 

---

Tillägg: 15 dec 2023 21:45

Om man ritar lite och låter b > a så ser man att 

a/b = tan(15°)

Det går att räkna ut med halvvinkelformlerna. 

Annars har du att arean är ab, men också

c²sin(30°)/2

där c är diagonalens längd. Det ger a/b. 

Jag förstår ej vad för skiss du vill att jag ska göra.  Vad är felet med min skiss?

Jag vet inte hur du använder sinussatsen.

Det finns ju ingen triangel som innehåller vinklar på 30° och 150° samtidigt. 

Variant 1: dela in rektangel i 4 med ett hörn i mittpunkten. Du bör då se vinklarna 15° och 75°.

Variant 2: uttryck arenorna av de 4 trianglarna mellan diagonaler och sidor. 

Nu har jag d1^2/16=Areasatsen. Sen tänker jag 4 såna motsvarar totala arean hos en rektangel dvs 4*d^2/16=3 d1=sqrt(12)

Det blir en massa jobbiga räkningar med rotuttryck. Jag missar nog något smart trick såhär en fredagkväll. Återkommer i morgon om ingen tar över. 

Dr. G skrev:

Det blir en massa jobbiga räkningar med rotuttryck. Jag missar nog något smart trick såhär en fredagkväll. Återkommer i morgon om ingen tar över. 

Jag använde cosinussatsen men kommer ej vidare 

Det kan hjälpa att veta att

$\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$

Jag använde att A = ab = 3, samt att även

$A = \dfrac{a^2+b^2}{2}\sin 30^{\circ}= \dfrac{a^2+b^2}{4}$

Detta gav sedan (med t.ex pq-formeln och val att a < b)

$a = (2 - \sqrt{3})b$

Då är

$3=A=ab= (2 - \sqrt{3})b^2$

så

$b= \sqrt{\dfrac{3}{2 - \sqrt{3}}}=\sqrt{3(2 + \sqrt{3})}$

och

$a=\sqrt{3(2 - \sqrt{3})}$

Kolla nu vad kvadraten på 2(a+b) blir och ta sedan roten ur. Då kan det förenklas till svaret i facit. 

Dr. G skrev:

Det kan hjälpa att veta att

$\dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$

Jag använde att A = ab = 3, samt att även

$A = \dfrac{a^2+b^2}{2}\sin 30^{\circ}= \dfrac{a^2+b^2}{4}$

Detta gav sedan (med t.ex pq-formeln och val att a < b)

$a = (2 - \sqrt{3})b$

Då är

$3=A=ab= (2 - \sqrt{3})b^2$

så

$b= \sqrt{\dfrac{3}{2 - \sqrt{3}}}=\sqrt{3(2 + \sqrt{3})}$

och

$a=\sqrt{3(2 - \sqrt{3})}$

Kolla nu vad kvadraten på 2(a+b) blir och ta sedan roten ur. Då kan det förenklas till svaret i facit. 

Nu hänger jag ej med på var du fått allt detta ifrån.  Titta på min lösning tack

Det saknas rottecken på två ställen, så en term blir fel på en faktor 12. 

Dr. G skrev:

Det saknas rottecken på två ställen, så en term blir fel på en faktor 12. 

Men nu får jag 12sqrt(3)

4 rader nedifrån multiplicerar du 2(a + b) med en faktor som inte är 1. 

Dr. G skrev:

4 rader nedifrån multiplicerar du 2(a + b) med en faktor som inte är 1. 

Jag är ej med riktigt. Detta är vad jag får nedan. Se bild. Hur går vi vidare nu? Jag försökte multiplicerar det som är inom parentesen med sin konjugat men det blev ej rätt så jag undrar om man ej ska tänka att vi har något rotuttryck/1 och så gör man samma sak i täljare som nämnaren. 

Kvadrera omkretsen och ta sedan roten ur för ett oförändrat värde. 

Det vill sig så väl att korstermen i det här fallet blir väldigt trevlig. 

Dr. G skrev:

Kvadrera omkretsen och ta sedan roten ur för ett oförändrat värde. 

Det vill sig så väl att korstermen i det här fallet blir väldigt trevlig. 

Men gud varför ska man göra det så komplicerat o kvadrera omkretsen? Aldrig varit med om det förut. Vad är det man vill uppnå? Jag trodde man skulle ta reda på omkretsen här?

Man kan även göra så här, så lipper man rotuttrycken (i alla fall delvis)

$O = \sqrt{O^2}=\sqrt{4(a+b)^2}=2\sqrt{a^2+b^2+2ab}=2\sqrt{12+2\cdot3}=2\sqrt{18}=6\sqrt{2}$

Du visste ju att a² + b² = 12 och ab = 3. 

destiny99 skrev:

Men gud varför ska man göra det så komplicerat o kvadrera omkretsen? Aldrig varit med om det förut. Vad är det man vill uppnå? Jag trodde man skulle ta reda på omkretsen här?

Du är egentligen klar, men om du vill förenkla till facits snygga svar så kommer jag inte på någon bättre metod än den föreslagna. 

Dr. G skrev:

Man kan även göra så här, så lipper man rotuttrycken (i alla fall delvis)

$O = \sqrt{O^2}=\sqrt{4(a+b)^2}=2\sqrt{a^2+b^2+2ab}=2\sqrt{12+2\cdot3}=2\sqrt{18}=6\sqrt{2}$

Du visste ju att a² + b² = 12 och ab = 3. 

Men varför gör man så och varför är mitt sätt fel? 

O = 2(√(6 + 3√3) + √(6 - 3√3))

är rätt värde på omkretsen, men det kan förenklas till 

O = 6√2

Dr. G skrev:

O = 2(√(6 + 3√3) + √(6 - 3√3))

är rätt värde på omkretsen, men det kan förenklas till 

O = 6√2

Ja men den förenklingen är väl att multiplicera med uttryckets konjugat? Om ej hur gör man för att förenkla detta rätt?

Då måste du även dela med konjugatet för att inte förändra värdet, så det hjälper inte riktigt. Du får en fin täljare, men en tråkig nämnare. 

I det här fallet hjälper det att kvadrera, förenkla och sedan ta roten ur.

Dr. G skrev:

Då måste du även dela med konjugatet för att inte förändra värdet, så det hjälper inte riktigt. Du får en fin täljare, men en tråkig nämnare. 

I det här fallet hjälper det att kvadrera, förenkla och sedan ta roten ur.

Aha okej jag förstår. Då har jag försökt alltså att förändra värdet av Omkretsen. Men då gör jag som du skrev nu.

Tyvärr får jag ej rätt. 

4 rader från slutet så glömmer du en faktor 2 på korstermen. Lägg till den så blir det rätt!

Dr. G skrev:

4 rader från slutet så glömmer du en faktor 2 på korstermen. Lägg till den så blir det rätt!

Jag ser ej den där faktor 2

Tillägg: 16 dec 2023 12:34

Edit: Jag räknade om och fick nu rätt.