MAFY 2014 Uppgift 29

Jag tror att sinussatsen skulle fungera bättre,

rita exvis en höjd i  en av trianglarna mellan kortsidan och diagonalernas skärningspunkt, samt tillämpa sinussatsen på en av de två trianglarna som då bildas

Jag tänker mig att vi kan konstatera att den minsta vinkeln i den triangel som bildas av diagonalen, bredd och höjd blir 15 grader. Då, om diagonalen är x blir b = x cos 15 och h = x sin 15. Då kan vi sedan beräkna x genom att vi vet arean.

Ture skrev:

Jag tror att sinussatsen skulle fungera bättre,

rita exvis en höjd i  en av trianglarna mellan kortsidan och diagonalernas skärningspunkt, samt tillämpa sinussatsen på en av de två trianglarna som då bildas

Jag förstår inte riktigt hur du menar

Vinklarna D kan du lätt räkna ut eftersom vinkeln där diagonalerna skär varandra är känd.

sin(D)/(a/2) = sin(15)/(b/2)

sen vet du att a*b = 3

Ture skrev:

Vinklarna D kan du lätt räkna ut eftersom vinkeln där diagonalerna skär varandra är känd.

sin(D)/(a/2) = sin(15)/(b/2)

sen vet du att a*b = 3

D borde isåfall vara = 75 grader. Tänker jag rätt?

Hassan1 skrev:

Ture skrev:

Vinklarna D kan du lätt räkna ut eftersom vinkeln där diagonalerna skär varandra är känd.

sin(D)/(a/2) = sin(15)/(b/2)

sen vet du att a*b = 3

D borde isåfall vara = 75 grader. Tänker jag rätt?

Vilken längd petraktar du som $\frac{a}{2}$? Är inte med riktigt.

Hassan1 skrev:

Hassan1 skrev:

Visa föregående citat

Ture skrev:

Vinklarna D kan du lätt räkna ut eftersom vinkeln där diagonalerna skär varandra är känd.

sin(D)/(a/2) = sin(15)/(b/2)

sen vet du att a*b = 3

D borde isåfall vara = 75 grader. Tänker jag rätt?

Vilken längd petraktar du som $\frac{a}{2}$? Är inte med riktigt.

Eller nu när jag har funderat lite grann förstår jag hur du menar. $\frac{a}{2}$ska motsvara längden på höjden h. Men problemet är att sin 15 och sin 75 måste räknas ut med hjälpa av additionsformlerna, och det tar tid. Detta prov är gjort för att det ska gå att lösa snabbt. Borde det då inte finnas något smidigare sätt? 

det är möjligt, men jag har inte hittat något ännu...

Å andra sidan blir det inte så besvärligt att räkna om man gör det lite eftertänksamt.

Med sinussatsen får vi

sin(75)/a = sin(15)/b =>

sin(75)/sin(15) = a/b

Additions och subtraktionsformeln för sin ger

$\frac{\sin \left(45\right)*\cos \left(30\right)+\sin \left(30\right)*\cos \left(45\right)}{\sin \left(45\right)*\cos \left(30\right)-\sin \left(30\right)*\cos \left(45\right)} = \frac{a}{b}$

då ser vi att alla termer innehåller ett argument på 45 grader vilket ger samma värde för sin och cos alltså kan vi förkorta bort det

då har vi

$\frac{\cos \left(30\right)+\sin \left(30\right)}{\cos \left(30\right)-\sin \left(30\right)} = \frac{a}{b}$

då ser vi att alla termer har nämnaren 2 vilket vi snabbt förkortar bort och behåller täljarna då återstår

$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1 } = \frac{a}{b}$

sen förlänger vi med täljaren för att få det lite snyggare

$\frac{{(\sqrt{3}+1)}^2}{2 } = \frac{a}{b}$

Utnyttjar vi nu att a*b = 3 kan vi lösa ut a och b samt beräkna omkretsen

$\frac{3{(\sqrt{3}+1)}^2}{2 } = a^2$

$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{2} } = a$

osv

Varför använda sinussatsen på en rätvinklig triangel?

Jag vill gärna räkna med diagonalen och Area satsen. Jag väljer att lägga två rektanglar bredvid varandra för att man lättare ska kunna se sambanden:

Vi får veta att $ab=3$. Det vi söker är talet $2(a+b)$. Areasatsen och Pythagoras sats ger

$\frac{d^2\sin(30)}{2}=3\implies d^2=12$

$d^2=a^2+b^2\implies (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=18$

Alltså är $2(a+b)=2\sqrt{18}=6\sqrt{2}$

Fiffigt!

Snyggt D4NIEL, även om jag fick fundera ett tag på vad du gjorde för att komma fram till att (a+b)² = 18. Där kan man säga att din redovisning är lite svag. :)

Mitt förslag:

b= d cos 15

h = d sin 15

$3= d \sin 15 d \cos 15 =\hspace{0.17em}{d}^2 \frac{\sin (2*15)}{2}=\hspace{0.17em}\frac{d^2\sin 30}{2} \Rightarrow d =\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

Då får vi omkretsen 2d (sin 15 + cos 15)

Eftersom:

$$\begin{gathered} \sin \left(15\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\sin (45-30) =\hspace{0.17em}\sin 45 \cos 30 - \cos 45\sin 30 =\hspace{0.17em}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{2}=\hspace{0.17em}\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \\ och \\ \cos 15 =\hspace{0.17em}\cos (45-30) =\hspace{0.17em}\cos 45 \cos 30 + \sin 45 \sin 30 =\hspace{0.17em}\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \end{gathered}$$

får vi $2*2\sqrt{3} \left(\frac{\sqrt{3}-1+\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\right) =\hspace{0.17em}4\sqrt{3} \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=2* 3 \sqrt{2}=\hspace{0.17em}6\sqrt{2}$

Jag kan hålla med om att det sista steget som kräver subtraktionsformlerna för både sin och cos kunde göras bättre, D4NIELS lösning här är mycket elegantare men så svårt är det väl inte att räkna ut cos 15 och sin 15? (Om man nu inte kommer ihåg vad det blir efter att ha gjort det förut.)