MaFy 2014 19

Denna är helt klart klurig. Jag håller med om att både (b) och (c) är korrekta påståenden, givet kraven på a, b och p. Däremot tror jag att nyckeln till uppgiften ligger i biten "Av satsen följer att". Vi har fått satsen $p|ab\Rightarrow p|a\vee p|b$.

Om vi utgår från att den satsen kan vi konstatera att $p|a^{2}b\Rightarrow p|a^2 \vee p|b$, och givet våra krav på a, b och p kan vi även dra slutsatsen $p|a^{2}b\Rightarrow p|a\vee p|b$. 

Negering av satsen ger att $\neg \left(p|a\vee p|b\right)\Rightarrow \neg \left(p|ab\right)$ dvs. $p\cancel{ | }a\wedge p\cancel{ | }b\Rightarrow p\cancel{ | }ab$. 

Så även om satsen i (c) är sann givet våra förutsättningar, så följer den inte nödvändigtvis direkt av satsen vi fått. 

Ja tack då blev det mycket tydligare. Visserligen fick jag hämta information från Johansson/Öhmans "Introduktion till högre studier", vilken jag kan rekommendera dels för det här, men också för absolutbeloppens beskrivning.

Information jag behövde var $\vee =$eller, $\wedge =$och, $|=$delar, $\cancel{| }=$delar inte.
Plötsligt blev det lätt att prova exemplen med olika siffror.

Sedan tror jag att du har helt rätt i "nyckeln till uppgiften ligger i biten "Av satsen följer att". Vi har fått satsen p|ab ⇒ p|a ∨ p|b."

I alternativ c) motsägs ju det med  "p|a$\wedge$p|b" vilket ställer grundvillkoret på huvudet eller?

Din negering är jag inte riktigt med på. Är det och-tecknet där som du ser som en motsats till grundvillkoret?

Jag har försökt att förstå negeringen du gjort och om jag nu fattat rätt så stämmer den, men är det orsaken till att c) inte stämmer? Eftersom det är som en halv negering. Man har bara vänt på utttrycket och ersatt eller med och, men däremot inte angett icke-tecknen, så då kan det inte gälla för vår sats som vi fått?

Ursäkta, jag minns inte riktigt längre i vilka kurser som olika notationer lärs ut. 😅

I alternativ c) motsägs ju det med  "p | a∧p | b" vilket ställer grundvillkoret på huvudet eller?

Jag vet inte om jag skulle säga att det motsäger grundvillkoret, bara att vi inte kan säga från satsen att (c) stämmer. Nu råkar det stämma, men det följer inte av satsen. 

Att jag kikar på negeringen beror på att det för implikationer generellt gäller att om $p\to q$, gäller det även att $\neg q\to \neg p$. Det hade därför gått att säga att det följde av satsen att "om p inte delar varken a eller b, delar p inte heller ab". Det är nog egentligen inte helt nödvändigt att göra det. 

Smutstvätt skrev:

Ursäkta, jag minns inte riktigt längre i vilka kurser som olika notationer lärs ut. 😅

Inget att be om ursäkt för. Tvärtom det var ju en kanonbra förklaring. Allt blev väldigt mycket enklare att förstå.

Om vi tar det en gång till.
Förutsättningen är $p|ab\Rightarrow p|a\vee p|b$ (p delar ab, medför att p delar a eller p delar b.) p är ett primtal.

Som exempel använder vi p=7, a=8 och b=14

Vi sätter in i b)
$p|a^{2}b\Rightarrow p|a\vee p|b$ $7|8^2·14\Rightarrow 7|8\vee 7|14$Det ser vi att det stämmer. 7 delar inte 8, men den delar 14.

Vi provar att sätta in exempelsiffrorna i c)
$p|a\wedge p|b\Rightarrow p|ab$ $7|8\wedge 7|14\Rightarrow 7|8·14$.Då ser vi att 7 delar inte 8 och 14, bara 14. där faller villkor c) .Även om 7 delar produkten av a och b.

Något som inte är helt intuitivt är att om p är falskt i implikationen $p\to q$, är implikationen sann. Så i och med att 7 inte delar 8, kommer implikationen att vara sann. 

Problemet med denna uppgift, och anledningen till att den är en så bra lektion i implikationer och satser, är att både b och c är sanna (för de krav vi fått på a, b och p). Men! Det luriga, och det lärorika, är att klura ut vilket av alternativen som följer av den sats vi fått i uppgiften.

(c) är korrekt i sig, men (c) följer inte av uppgiftens sats. Det gör (b).

Tillägg: 24 jan 2023 21:02

I ditt exempel kommer p att dela ab, eftersom p delar 14. :)

Nu har jag sett några YouTube-videor och läst i lärobok, men det här var inte lätt att förstå.
Sanningstabeller används tydligen ofta, men om man kan tillämpa det på denna uppgift vet jag inte?

En fråga som du säkert redan tycker du besvarat måste jag ändå ställa. Min ursäkt att våga ställa frågan är att jag lärde mig datalogik via mitt yrke med EL. Har vi en krets med och i, så måste bägge villkoren vara uppfyllda för att vi ska tända lampan eller starta motorn. I c) har vi en och-krets, varav det ena villkoret inte är uppfyllt och ändå säger du att kretsen är sann. (Lampan lyser!) Hur är det möjligt?

Tillägg: 26 jan 2023 19:49

Skulle man kunna säga så här kanske?

$p|ab$men inte på grund av att $p|a\wedge p|b$

Om vi vänder på saken och bestämmer att c) är tesen.
Då får vi att om p delar a och p delar b så delar p produkten ab.  $p|a\wedge p|b\Rightarrow p|ab$
För att det ska gälla måste a och b bägge vara delbara med primtalet p.

Av satsen c) gäller då vår grundförutsättning att $p|ab\Rightarrow p|a\vee p|b$
Det stämmer inte eftersom det i grundförutsättningen räcker med att p delar a eller att p delar b för att p ska dela ab.

Om vi låter b) vara vår tes så stämmer givetvis också grundsatsen. Att a kvadreras ändrar inget. P delar både a och a² 

Så min slutsats blir att även om vi vänder på teserna så är det bara b) som kan vara en följd av grundtesen.

Jag misstänker att du har tänkt att implikationen är en ekvivalens nu och att du därför kan motbevisa frågesatsen genom att "vända" på det.

Tanken med uppgiften är att du ska inse att c) inte uppfyller villkoren för grundsatsen.

Villkoren för grundsatsen är

• $a$ ska vara ett positivt heltal
• $b$ ska vara ett positivt heltal
• $p$ ska vara ett primtal
• $p$ ska dessutom dela produkten $ab$

I alternativ c) får vi bara veta att p delar a och b, detta uppfyller inte listan med villkor som ska vara uppfyllda för att vi ska få använda satsen.

I alternativ b) får vi veta att $p$ delar $r^2\cdot q$ vilket med lite fantasi kan skrivas om som $a\cdot b$, man kan t.ex använda satsen två gånger. Vi får använda satsen eftersom vi kan hitta $p$, $a$ och $b$ som uppfyller listan med villkor (under förutsättning att $a,b$ och $p$ behåller vissa, men inte alla egenskaper från frågeställningens formulering av satsen, detta är en av flera faktorer som gör frågan så otydlig).

D4NIEL skrev:

Jag misstänker att du har tänkt att implikationen är en ekvivalens nu och att du därför kan motbevisa frågesatsen genom att "vända" på det. 

Tanken med uppgiften är att du ska inse att c) inte uppfyller villkoren för grundsatsen.

Villkoren för grundsatsen är

• $a$ ska vara ett positivt heltal
• $b$ ska vara ett positivt heltal
• $p$ ska vara ett primtal
• $p$ ska dessutom dela produkten $ab$

I alternativ c) får vi bara veta att p delar a och b, detta uppfyller inte listan med villkor som ska vara uppfyllda för att vi ska få använda satsen.

 

D4niel skriver: "Jag misstänker att du har tänkt att implikationen är en ekvivalens nu och att du därför kan motbevisa frågesatsen genom att "vända" på det. 
Riktigt så korkad är jag inte. 😉  Problemet är att jag har inte tillräckligt djupa kunskaper utan kämpar förtvivlat med att försöka förstå frågan. Det är ju från början tänkt som en fråga till blivande högskolestudenter inte färdiga högskolestudenter. (Det blev ett extragnäll där till de som skapat provet 😠)

D4niel skriver: "I alternativ c) får vi bara veta att p delar a och b"
Det är det jag trycker på och eftersom vi har ett och-villkor så måste både p dela a och b och som du skriver "detta uppfyller inte listan med villkor som ska vara uppfyllda för att vi ska få använda satsen." Räcker inte det egentligen som förklaring för oss med i stort sett endast gymnasiekunskaper i bagaget?

Tyvärr hänger jag inte med på sista stycket du skriver. Förhoppningsvis kommer jag till det senare i mitt liv. 😏

Jag vill verkligen tacka både dig och Smutstvätt att ni kämpat med att förklara det här för mig. Ni kan nog inte ana hur mycket det betyder och det sporrar mig verkligen till att läsa mer. Är det något de lyckats med de som skrivit MaFy-provet så är det att väcka nyfikenhet, men tyvärr en hel del förtvivlan när man inte begriper hur man ska få tag i informationen. Så därför ett extra stort tack till er som försöker att förmedla era kunskaper till oss som ännu inte kommit så långt. 

ConnyN skrev:

 

D4niel skriver: "I alternativ c) får vi bara veta att p delar a och b"
Det är det jag trycker på och eftersom vi har ett och-villkor så måste både p dela a och b och som du skriver "detta uppfyller inte listan med villkor som ska vara uppfyllda för att vi ska få använda satsen." Räcker inte det egentligen som förklaring för oss med i stort sett endast gymnasiekunskaper i bagaget?

Ja, det tycker jag räcker. Det viktiga är att förstå att satsen har vissa förutsättningar och att dessa förutsättningar inte är uppfyllda i c).

Sen kan man krångla till det lite genom att på påpeka att b) inte avslöjar något om att $a$, $b$ är heltal, inte eller om $p$ är ett primtal. "Sunt förnuft" säger att vi ska flytta med dessa egenskaper från listan över villkor. Men på listan över villkor ingår även $p|ab$. Vad är det som bestämmer vilka förutsättningar vi får flytta över? Ska $p|ab$ med på överföringen är c) också en följd.

Frågan är helt enkelt är illa ställd enligt min mening. Det är alltför många oklarheter och tolkningsmöjligheter.

D4NIEL har redan skrivit ett bra svar, jag vill bara lägga till en liten sanningstabell, och svara på några frågor från tråden.

Sanningstabeller används tydligen ofta, men om man kan tillämpa det på denna uppgift vet jag inte?

Ja, det borde gå att prova i alla fall. :) Och nej, du behöver verkligen inte be om ursäkt för någonting!

För implikationer, så gäller det faktiskt att en implikation är sann om premissen är falsk. Det går att tänka ungefär såhär: Vi har en implikation, att OM p gäller, DÅ gäller även Q. Om premissen inte stämmer, ja då kan vi ju i princip ljuga ihop vilka kopplingar som helst.

Exempel: Om grisar kan flyga, ja då kan de också läsa tidningen. Grisar kan ju inte flyga, så då kan vi i princip säga att denna koppling stämmer, eftersom vi aldrig kommer till tidningsbiten. 

Det stämmer att $\left(p|a\wedge p|b\right)\Rightarrow p|ab$, det stämmer till och med att $\left(p|a\vee p|b\right)\Rightarrow p|ab$, men min poäng är att detta påstående inte är en utveckling eller omformulering av påståendet i frågan. Det är ett annat påstående. 

Ett litet erkännande från min sida får avsluta tråden. Efter noggranna genomgångar av avsnitt ifrån matte1 och matte4 så måste jag nog erkänna att det går att förstå frågan med endast gymnasiekunskaper i bagaget.
Även era svar blev väldigt tydliga för mig, så ja vad ska jag säga. Det är lätt att tycka att eleven borde läsa på bättre när man svarar på frågor. När man själv är frågeställaren så är det lätt att glömma bort det  😔