Mafy 2013 uppgift 25

Nej, hur många heltalslösningar får olikheten $e^x-2e^{-x}<4$ med ditt resonemang?

D4NIEL skrev:

Nej, hur många heltalslösningar får olikheten $e^x-2e^{-x}<4$ med ditt resonemang?

0 ? Du skrev <4 det ska väl vara <3 enligt uppgiften. Varför funkar ej mitt resonemang?

Det argumentet fungerar för stora värden på x (positiva och negativa), men inte för värden nära noll. En möjlig lösning är: 

$$\begin{gathered} e^x+2e^{-x}=e^x+\frac{2}{e^x}=\frac{{\left(e^x\right)}^2+2}{e^x}<3 \\ \left[t=e^x>0\right] \\ \frac{t^2+2}{t}<3 \\ {t}^2+2-3t<0 \\ \left(t-2\right)\left(t-1\right)<0 \\ 1<t<2 \\ 1<e^x<2 \\ 0<x<\ln \left(2\right)<1 \end{gathered}$$

Inga heltalslösningar finns. :)

Smutstvätt skrev:

Det argumentet fungerar för stora värden på x (positiva och negativa), men inte för värden nära noll. En möjlig lösning är: 

$$\begin{gathered} e^x+2e^{-x}=e^x+\frac{2}{e^x}=\frac{{\left(e^x\right)}^2+2}{e^x}<3 \\ \left[t=e^x>0\right] \\ \frac{t^2+2}{t}<3 \\ {t}^2+2-3t<0 \\ \left(t-2\right)\left(t-1\right)<0 \\ 1<t<2 \\ 1<e^x<2 \\ 0<x<\ln \left(2\right)<1 \end{gathered}$$

Inga heltalslösningar finns. :)

Vilka värden tänker du på som är nära noll som det ej funkar för? Hänger ej med på sista raden där du skrev 0<x<ln(2)<1? Ska det ej vara 0<x<ln(2)?

Resonemanget att vi får 0 + oändlighet håller inte riktigt för små värden på x, eftersom både $e^x$ och $2e^{-x}$ då är ganska små värden, vars summa mycket väl skulle kunna bli mindre än tre. I detta fall finns inga sådana värden, men det är alltid viktigt att kontrollera noggrant. 

Hänger ej med på sista raden där du skrev 0<x<ln(2)<1? Ska det ej vara 0<x<ln(2)?

Jo, egentligen. Att jag lade till "<1" var bara för att förtydliga att alla lösningar till olikheten ligger inom intervallet (0,1), så det finns inga heltalslösningar. Ursäkta otydligheten. :)

destiny99 skrev:

D4NIEL skrev:

Nej, hur många heltalslösningar får olikheten $e^x-2e^{-x}<4$ med ditt resonemang?

0 ? Du skrev <4 det ska väl vara <3 enligt uppgiften. Varför funkar ej mitt resonemang?

Jag ville få dig att inse att det finns heltalslösningar för $e^2+2e^{-x}<4$ t.ex. $x=1$, men att du med din metod inte kommer notera dem eftersom du bara intresserar dig för väldigt extrema värden på $x$

D4NIEL skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

D4NIEL skrev:

Nej, hur många heltalslösningar får olikheten $e^x-2e^{-x}<4$ med ditt resonemang?

0 ? Du skrev <4 det ska väl vara <3 enligt uppgiften. Varför funkar ej mitt resonemang?

Jag ville få dig att inse att det finns heltalslösningar för $e^2+2e^{-x}<4$ t.ex. $x=1$, men att du med din metod inte kommer notera dem eftersom du bara intresserar dig för väldigt extrema värden på $x$

Okej jag är med på det. 

Smutstvätt skrev:

Resonemanget att vi får 0 + oändlighet håller inte riktigt för små värden på x, eftersom både $e^x$ och $2e^{-x}$ då är ganska små värden, vars summa mycket väl skulle kunna bli mindre än tre. I detta fall finns inga sådana värden, men det är alltid viktigt att kontrollera noggrant. 

Hänger ej med på sista raden där du skrev 0<x<ln(2)<1? Ska det ej vara 0<x<ln(2)?

Jo, egentligen. Att jag lade till "<1" var bara för att förtydliga att alla lösningar till olikheten ligger inom intervallet (0,1), så det finns inga heltalslösningar. Ursäkta otydligheten. :)

Jaha okej,men resonemanget funkar alltså för stora värden på x alltså? Ok men jag är ej med på varför du ens lägger till en etta där? Räcker det ej med att visa 0<x<ln(2)? Jag tänkte hur som helst såhär. Tror du mitt sätt är giltig också? Fast jag resonerade som så att det kan finnas lösningar mellan  1 och 2 för värden på t ,men de är ej heltal.

Ja, för värden som ligger långt ifrån noll fungerar ditt resonemang. :)