Mafy 2012 uppgift 15 (Matematik/MaFy (mattedelen))

destiny99 skrev:
Hej!

Jag testade med mina 3 fall och endast fall 1 stämmer för mitt exempel ,medan de två andra fallen blev osäkra. Rätt svar är tydligen B. Pga de 2 andra lät osäkra lutade jag mig på alternativ d.Hur ska man ha tänkt här istället?

Jag har lite svårt att tyda din lösning men i frågan står det att vinklarna ska vara i en triangel, alltså kan du inte använda 0 och 180 som test i dina fall.

I min lösning gjorde jag ditt fall 2 och kom fram till att b och c stämde, men när jag testa en likbent triangel med vinklarna 45, 45 och 90 blir tan = 1 oavsett, därav blir svaret endast b

mrpotatohead skrev:
destiny99 skrev:
Hej!

Jag testade med mina 3 fall och endast fall 1 stämmer för mitt exempel ,medan de två andra fallen blev osäkra. Rätt svar är tydligen B. Pga de 2 andra lät osäkra lutade jag mig på alternativ d.Hur ska man ha tänkt här istället?

Jag har lite svårt att tyda din lösning men i frågan står det att vinklarna ska vara i en triangel, alltså kan du inte använda 0 och 180 som test i dina fall.

I min lösning gjorde jag ditt fall 2 och kom fram till att b och c stämde, men när jag testa en likbent triangel med vinklarna 45, 45 och 90 blir tan = 1 oavsett, därav blir svaret endast b

Hm hur ser din lösning ut ? Jag vet ej hur man angriper denna fråga isåfall. Jag ritade en triangel med alla 3 vinklar okända.

destiny99 skrev:
mrpotatohead skrev:
destiny99 skrev:
Hej!

Jag testade med mina 3 fall och endast fall 1 stämmer för mitt exempel ,medan de två andra fallen blev osäkra. Rätt svar är tydligen B. Pga de 2 andra lät osäkra lutade jag mig på alternativ d.Hur ska man ha tänkt här istället?

Jag har lite svårt att tyda din lösning men i frågan står det att vinklarna ska vara i en triangel, alltså kan du inte använda 0 och 180 som test i dina fall.

I min lösning gjorde jag ditt fall 2 och kom fram till att b och c stämde, men när jag testa en likbent triangel med vinklarna 45, 45 och 90 blir tan = 1 oavsett, därav blir svaret endast b

Hm hur ser din lösning ut ? Jag vet ej hur man angriper denna fråga isåfall. Jag ritade en triangel med alla 3 vinklar okända.

Typ samma som din fast med en bild

Såhär hade jag tänkt om jag satt och skrev provet:

$α > β > 0$

Med enhetscirkeln som referens:

$\forall α < 180 ° : \cos α < \cos β$

Det är alltså inte alternativ a.

Om alfa befinner sig i första kvadranten så gör beta också det. Då gäller att

$\sin α > \sin β$

Om alfa inte befinner sig i första kvadranten kan vi dra slutsatsen att

$α \geq 90 ° \Rightarrow β < 90 °$

Med enhetscirkeln som referens kommer alltså y-koordinaten ha ett högre värde för alfa än för beta, om alfa är större än eller lika med 90^o. Därmed kan vi dra slutsatsen att

$\sin α > \sin β$

Därav är det alternativ B.

mrpotatohead skrev:
destiny99 skrev:
mrpotatohead skrev:
destiny99 skrev:
Hej!

Jag testade med mina 3 fall och endast fall 1 stämmer för mitt exempel ,medan de två andra fallen blev osäkra. Rätt svar är tydligen B. Pga de 2 andra lät osäkra lutade jag mig på alternativ d.Hur ska man ha tänkt här istället?

Jag har lite svårt att tyda din lösning men i frågan står det att vinklarna ska vara i en triangel, alltså kan du inte använda 0 och 180 som test i dina fall.

I min lösning gjorde jag ditt fall 2 och kom fram till att b och c stämde, men när jag testa en likbent triangel med vinklarna 45, 45 och 90 blir tan = 1 oavsett, därav blir svaret endast b

Hm hur ser din lösning ut ? Jag vet ej hur man angriper denna fråga isåfall. Jag ritade en triangel med alla 3 vinklar okända.

Typ samma som din fast med en bild

Skicka gärna!

feber01 skrev:
Såhär hade jag tänkt om jag satt och skrev provet:

$α > β > 0$

Med enhetscirkeln som referens:

$\forall α < 180 ° : \cos α < \cos β$

Det är alltså inte alternativ a.

Om alfa befinner sig i första kvadranten så gör beta också det. Då gäller att

$\sin α > \sin β$

Om alfa inte befinner sig i första kvadranten kan vi dra slutsatsen att

$α \geq 90 ° \Rightarrow β < 90 °$

Med enhetscirkeln som referens kommer alltså y-koordinaten ha ett högre värde för alfa än för beta, om alfa är större än eller lika med 90^o. Därmed kan vi dra slutsatsen att

$\sin α > \sin β$

Därav är det alternativ B.

Bra tänkt. Men jag fattar typ ej logiken eller dina tankesteg :D

Om jag satt och skrev provet hade jag först kollat om alternativ a stämde, och om det inte stämde hade jag gått vidare till b, et cetera, tills jag hade hittat ett giltigt (eller rimligt) alternativ.

Så jag hade börjat med att analysera alternativ a. Vinklarna α och β är vinklar i en triangel. Det säger oss dels att vinklarna är positiva och dels att vinklarna garanterat är mindre än 180^o.

Tänk dig att β = 0^o från början. Då är x-koordinaten i enhetscirkeln så stor som möjligt, x = cos β = 1. Vinkeln α, som ju är större än β, medför därför att cos α < 1, dvs att cos α < cos β. Om du tänker dig att α sedan växer mot 180^o kommer sambandet cos α < cos β fortsätta att gälla, oavsett när eller om α slutar att växa.

Man kan därför dra slutsatsen att cos α < cos β oavsett värde på α och/eller β, eftersom vinklarna ju alltid är mindre än 180^oi triangeln. Därför är det inte alternativ a, och vi kan gå vidare till alternativ b.

Titta på bilden jag bifogar nedan. Om α < 90^o är sin α > sin β.

Om α ≥ 90^o gäller att β < 90^o, eftersom båda vinklarna ju befinner sig i en triangel! Enligt enhetscirkeln nedan kan vi därför dra slutsatsen att sin α > sin β även i detta fall.

Edit:

Lite förtydligande i det sista tankesteget, varför alternativ b borde vara korrekt:

Om α = 90^o är β <90^ooch därför är sin α> sin β. Om α > 90^o kan du tänka dig att koordinaten i den andra kvadranten, i sista bilden, fortsätter att vandra moturs. För att kompensera för detta måste koordinaten i första kvadranten rotera medurs. Därför har koordinaten i andra kvadranten alltid ett större y-värde i förhållande till koordinaten i första kvadranten.

feber01 skrev:
Om jag satt och skrev provet hade jag först kollat om alternativ a stämde, och om det inte stämde hade jag gått vidare till b, et cetera, tills jag hade hittat ett giltigt (eller rimligt) alternativ.

Så jag hade börjat med att analysera alternativ a. Vinklarna α och β är vinklar i en triangel. Det säger oss dels att vinklarna är positiva och dels att vinklarna garanterat är mindre än 180^o.

Tänk dig att β = 0^o från början. Då är x-koordinaten i enhetscirkeln så stor som möjligt, x = cos β = 1. Vinkeln α, som ju är större än β, medför därför att cos α < 1, dvs att cos α < cos β. Om du tänker dig att α sedan växer mot 180^o kommer sambandet cos α < cos β fortsätta att gälla, oavsett när eller om α slutar att växa.

Man kan därför dra slutsatsen att cos α < cos β oavsett värde på α och/eller β, eftersom vinklarna ju alltid är mindre än 180^oi triangeln. Därför är det inte alternativ a, och vi kan gå vidare till alternativ b.

Titta på bilden jag bifogar nedan. Om α < 90^o är sin α > sin β.

Om α ≥ 90^o gäller att β < 90^o, eftersom båda vinklarna ju befinner sig i en triangel! Enligt enhetscirkeln nedan kan vi därför dra slutsatsen att sin α > sin β även i detta fall.

Edit:

Lite förtydligande i det sista tankesteget, varför alternativ b borde vara korrekt:

Om α = 90^o är β <90^ooch därför är sin α> sin β. Om α > 90^o kan du tänka dig att koordinaten i den andra kvadranten, i sista bilden, fortsätter att vandra moturs. För att kompensera för detta måste koordinaten i första kvadranten rotera medurs. Därför har koordinaten i andra kvadranten alltid ett större y-värde i förhållande till koordinaten i första kvadranten.

Så man kan tänka rent enkelt att om vinkeln är större än B oavsett kvadrant så kommer sinalfa alltid vara större än sinB? Om alfa är i andra kvadranten och Beta är fortfarande på första så är y koordinat för alfa större än den för Beta. Samma sak om vi rör sig mot tredje osv right? Medan för cos så blir bara beta större än alfa ju mer alfa går till andra kvadranten osv vilket ej riktigt stämmer i a) och tangens har vi ej funderat över

Nja... Om sinalfa ligger i andra kvadranten så är alfa > 90 deg. Då måste ju beta < 90. Om alfa växer mot 180 måste beta minska mot 0 för att kompensera för tillväxten hos alfa...

...Tänk dig att alfa är större än 90^o och att γ = 180^o-α. Gamma blir då den spegelvända motsvarigheten till alfa, och gamma befinner sig därför i den första kvadranten. Beta måste alltid vara mindre än gamma. Om alfa växer mot 180 kommer gamma minska mot 0 och beta måste därför också minska mot 0.

Vi bryr oss bara om vad som händer i den första och andra kvadranten. I den tredje och fjärde kvadranten måste vinkeln vara större än 180 grader, och någon sådan vinkel finns ju inte i en triangel.

Hur menar du att cos inte blir större om alfa växer mot 180 och beta är mindre än alfa?

feber01 skrev:
Nja... Om sinalfa ligger i andra kvadranten så är alfa > 90 deg. Då måste ju beta < 90. Om alfa växer mot 180 måste beta minska mot 0 för att kompensera för tillväxten hos alfa...

...Tänk dig att alfa är större än 90^o och att γ = 180^o-α. Gamma blir då den spegelvända motsvarigheten till alfa, och gamma befinner sig därför i den första kvadranten. Beta måste alltid vara mindre än gamma. Om alfa växer mot 180 kommer gamma minska mot 0 och beta måste därför också minska mot 0.

Vi bryr oss bara om vad som händer i den första och andra kvadranten. I den tredje och fjärde kvadranten måste vinkeln vara större än 180 grader, och någon sådan vinkel finns ju inte i en triangel.

Hur menar du att cos inte blir större om alfa växer mot 180 och beta är mindre än alfa?

Hm jag tar och diskuterar om denna fråga med någon här så kanske det klarnar om några timmar. Blir långa meddelanden här annars. Jag är ej säker på om jag hänger med i figuren även om det ser tydligt ut. Tror uppgiften är lite svår för mig för att prata om det här via meddelanden.

Jag hoppas att polletten faller ned så småningom :)

Jag kan förtydliga mina tankesätt senare idag, om det är av intresse. Lycka till!

feber01 skrev:
Jag hoppas att polletten faller ned så småningom :)

Jag kan förtydliga mina tankesätt senare idag, om det är av intresse. Lycka till!

Det behövs ej. Det blir väldigt rörigt inser jag. Bäst om man slår på teams och pratar om uppgiften som livehjälparna gör. Då får jag chansen att prata ,ställa frågor och peka med muntlig kommunikation. Tack!

destiny99 skrev:
feber01 skrev:
[…]

Så man kan tänka rent enkelt att om vinkeln är större än B oavsett kvadrant så kommer sinalfa alltid vara större än sinB?

Nästan! Det gäller åtminstone i första kvadranten. Men när sinalfa är i andra kvadranten så är sinbeta i första kvadranten, och då har sinalfa ett högre värde än sinbeta, i detta fall. I tredje och fjärde kvadranten är vinkeln större än 180 grader, vilket den inte kan vara i en triangel, så vad som händer där bryr vi oss inte om i det här sammanhanget.

Om alfa är i andra kvadranten och Beta är fortfarande på första så är y koordinat för alfa större än den för Beta.

Ja precis. Om sinbeta blir lika stor som eller större än den spegelvända koordinaten för sinalfa i första kvadranten (dvs om sinbeta är större än eller lika med sin (180^o - alfa) ) så är vinkelsumman av våra vinklar större än vinkelsumman i en triangel. Därför är y-koordinaten i andra kvadranten alltid större än den i första kvadranten, i detta sammanhang.

Samma sak om vi rör sig mot tredje osv right?

Vad som händer i tredje kvadranten bryr vi oss som sagt inte om i detta fall. Men i övrigt är det sinbeta som är större än sinalfa när vi rör oss i tredje kvadranten.

Medan för cos så blir bara beta större än alfa ju mer alfa går till andra kvadranten osv vilket ej riktigt stämmer i a)

Ja, cosbeta är alltid större än cosalfa eftersom cosbeta blir så stort som möjligt ju mindre beta är i första och andra kvadranten och beta alltid är mindre än alfa.

och tangens har vi ej funderat över

Nej det har vi inte för vi har ju redan kommit fram till att rätt alternativ är b. Men det gäller ju att tanx = sinx/cosx så om du vill kan du ju fundera på vad det innebär med tanke på våra slutsatser för sin och cos i den här uppgiften :)

Jag tror att jag missförstod det du skrev här litegrann så mitt förra svar var kanske lite onödigt invecklat. Jag svarar bit för bit i citatet ovan så hoppas jag att saker klargörs lite mer.