Mafy 2012 uppgift 13 (Matematik/MaFy (mattedelen))

Om man tittar på enhetscirkeln så vet vi ju att tangens är negativ i fjärde kvadranten, men jag förstår ej varför a) är rätt svar?

Det borde stå - p/roten ur 1-p^2.

Vilket tecken har sin v i fjärde kvadranten?

AndersW skrev:
Vilket tecken har sin v i fjärde kvadranten?

Negativ

Då får du att täljaren är negativ och nämnaren positiv, alltså blir resultatet negativt och det är ju det du vill ha, för som du säger, tangens är negativ i fjärde kvadranten. Ditt förslag skulle ge ett positivt värde.

AndersW skrev:
Då får du att täljaren är negativ och nämnaren positiv, alltså blir resultatet negativt och det är ju det du vill ha, för som du säger, tangens är negativ i fjärde kvadranten. Ditt förslag skulle ge ett positivt värde.

Varför just ett positivt!??

Nämnaren, roten ut är positiv, då vi inte anger annat. Täljaren är = sin v. Då kommer uttryckets tecken att vara lika med tecknet på sin v. I fjärde kvadranten är både sin v och tan v negativa.

Om du sätter - framför kommer ju tecknet på uttrycket att ändras och bli positivt.

AndersW skrev:
Nämnaren, roten ut är positiv, då vi inte anger annat. Täljaren är = sin v. Då kommer uttryckets tecken att vara lika med tecknet på sin v. I fjärde kvadranten är både sin v och tan v negativa.

Om du sätter - framför kommer ju tecknet på uttrycket att ändras och bli positivt.

Förstår ej fortfarande

Jag får såhär

Du säger att tanv är negativt och jag håller med dig men jag får verkligen ej ihop hur uttrycket blir positivt.. Allt jag ser är att - p dividerad med något positivt ger oss en negativ kvot.

Men sin v är ju negativt i fjärde kvadranten. Då får du ju ett negativt tal dividerat med ett positivt.

Om du tar -p får du - sin v och eftersom sin v ger ett negativt värde i fjärde kvadranten blir då hela uttrycket positivt.

För att ta ett exempel: Låt v = 11 pi/6 då är sin = -1/2. Där har du redan ditt - tecken. - sin (11 pi/6) = - (-1/2) = 1/2

AndersW skrev:
Men sin v är ju negativt i fjärde kvadranten. Då får du ju ett negativt tal dividerat med ett positivt.

Om du tar -p får du - sin v och eftersom sin v ger ett negativt värde i fjärde kvadranten blir då hela uttrycket positivt.

För att ta ett exempel: Låt v = 11 pi/6 då är sin = -1/2. Där har du redan ditt - tecken. - sin (11 pi/6) = - (-1/2) = 1/2

-sinv/cosv =-tanv?. Jag menar ej att krångla till detta men jag får ej ihop hur alternativen tänker bara. okej då får man väl ta något värde som du säger v= - pi/6 - sin(-pi/6)/1-(-pi/6)^2=

Jo men det skall ju vara = tan v inte -tan v. Att tan v blir negativt ger sig själv.

AndersW skrev:
Jo men det skall ju vara = tan v inte -tan v. Att tan v blir negativt ger sig själv.

Ja - sin(-v) /cos(v) =tanv

Tex

-(-1/2)/1/2= +

Uttrycket är positivt, men tangens är negativt?

Ja men det skall ju bli ett negativt värde då tan v är negativt.

i fjärde kvadranten är sin v negativ och cos v positiv. Då får vi -a/b. Tan v i fjärde kvadranten är också negativ alltså kommer tecknen att bli rätt.

För att ta 11pi/6 igen.

$\sin \frac{11 π}{6} = - 1 / 2 c o s \frac{11 π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sin \frac{11 π}{6}}{\cos \frac{11 π}{6}} = \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = - \frac{1}{\sqrt{3}} \tan \frac{11 π}{6} = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Ser du att tecknen ordnar sig?

AndersW skrev:
Ja men det skall ju bli ett negativt värde då tan v är negativt.

i fjärde kvadranten är sin v negativ och cos v positiv. Då får vi -a/b. Tan v i fjärde kvadranten är också negativ alltså kommer tecknen att bli rätt.

För att ta 11pi/6 igen.

$\sin \frac{11 π}{6} = - 1 / 2 c o s \frac{11 π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sin \frac{11 π}{6}}{\cos \frac{11 π}{6}} = \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = - \frac{1}{\sqrt{3}} \tan \frac{11 π}{6} = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Ser du att tecknen ordnar sig?

Att tangens blir negativt förstår jag, men sen när vi ska välja alternativen har jag problem att välja rätt.. Hur kan du med ditt exempel efterlikna svars alternativen? Ditt exempel funkar med siffror absolut. Men nu har vi bokstäver och roten ur i nämnaren. Man blir ju förvirrad tyvärr. Hur vet jag att tecknet ordnar sig i alternativen?

Eftersom nämnaren i svarsalternativen är "Roten ur" är nämnaren, per definition, positiv om vi inte skriver +- framför.

Nämnaren går att skriva om till cos v med trigettan men då får vi bara det positiva värdet. Det spelar ingen roll i detta fall då vi är i fjärde kvadranten och cos v är positiv.

Kvoten skall bli negativ då tan v är negativ i fjärde kvadranten. Vi vet att nämnaren är positiv vilket innebär att täljaren måste vara negativ. Då tittar vi på vilket tecken har sin v i fjärde kvadranten. Det har vi konstaterat är negativ. Alltså. när vi befinner oss i fjärde kvadranten kommer täljaren bli negativ, nämnaren positiv och därmed kvoten negativ.

Hade vi varit i tredje kvadranten hade vi behövt ditt minustecken. då roten ur och cos inte har samma tecken där.

AndersW skrev:
Eftersom nämnaren i svarsalternativen är "Roten ur" är nämnaren, per definition, positiv om vi inte skriver +- framför.

Nämnaren går att skriva om till cos v med trigettan men då får vi bara det positiva värdet. Det spelar ingen roll i detta fall då vi är i fjärde kvadranten och cos v är positiv.

Kvoten skall bli negativ då tan v är negativ i fjärde kvadranten. Vi vet att nämnaren är positiv vilket innebär att täljaren måste vara negativ. Då tittar vi på vilket tecken har sin v i fjärde kvadranten. Det har vi konstaterat är negativ. Alltså. när vi befinner oss i fjärde kvadranten kommer täljaren bli negativ, nämnaren positiv och därmed kvoten negativ.

Hade vi varit i tredje kvadranten hade vi behövt ditt minustecken. då roten ur och cos inte har samma tecken där.

Hur kan nämnaren vara positiv? Cosv är positivt ja. Men jag får fortfarande ej till det här.

Då får vi - sinv/cosv =tanv

Men varför blir det ej typ - p/1-(p^2)?

Jag tycker det är så lurigt med de här alternativen eftersom man hade kunnat välja alternativ D för att ens lösning ej hittas

Nämnaren går att skriva om som $\sqrt{1 - \sin^{2} α} = \sqrt{\cos^{2} α} = \cos α$ och eftersom vi bara har roten ur är det den positiva roten vi använder.

Det du inte tänker på är att det kommer ut ett tecken när du tar tan v och sin v. I detta fall blir det tecknet - i båda fallen. Hade vi varit i en annan kvadrant hade svaret blivit ett annat.

AndersW skrev:
Nämnaren går att skriva om som $\sqrt{1 - \sin^{2} α} = \sqrt{\cos^{2} α} = \cos α$ och eftersom vi bara har roten ur är det den positiva roten vi använder.

Det du inte tänker på är att det kommer ut ett tecken när du tar tan v och sin v. I detta fall blir det tecknet - i båda fallen. Hade vi varit i en annan kvadrant hade svaret blivit ett annat.

Jag vet ej om vi förstår varandra.. Men jag får - sin(-v) /cosv= tan(-v) dvs ett negativt värde på sin genom ett positivt värde på cos ger oss ett negativt värde på tanv

Nej, det gör vi troligen inte. Visst - sin (-v) = sin v men det är inte aktuellt här.

Vi kan säga att om vi är i första kvadranten är sin v = a och tan v = b. Nämnaren kallar vi c och den vet vi ju att den är positiv. Då kan vi konstatera att a/c = b

Om vi då går till fjärde kvadranten är sin (-v) = - sin (v) = -a och tan (-v) = - tan v = -b. Vi får då -a/c = -b

Vi ser alltså att eftersom sin v och tan v har samma tecken så behöver vi inte lägga till något extra tecken för att det skall stämma. Hade vi flyttat till andra eller tredje kvadranten hade det blivit annorlunda.

AndersW skrev:
Nej, det gör vi troligen inte. Visst - sin (-v) = sin v men det är inte aktuellt här.

Vi kan säga att om vi är i första kvadranten är sin v = a och tan v = b. Nämnaren kallar vi c och den vet vi ju att den är positiv. Då kan vi konstatera att a/c = b

Om vi då går till fjärde kvadranten är sin (-v) = - sin (v) = -a och tan (-v) = - tan v = -b. Vi får då -a/c = -b

Vi ser alltså att eftersom sin v och tan v har samma tecken så behöver vi inte lägga till något extra tecken för att det skall stämma. Hade vi flyttat till andra eller tredje kvadranten hade det blivit annorlunda.

Jag ber om ursäkt men jag får ej till att stämma med alternativen

Och jag vet inte hur jag skall förklara så du förstår.

Jag tror att du tycker att eftersom vi är i fjärde kvadranten måste vi skriva -sin v och - tan v men det skall vi inte. Det är inte där tecknet kommer in utan det är värdet av sin v och tan v som blir negativt i fjärde kvadranten. Vi måste inte lägga till eller ta bort några minustecken i uttrycket.

Du måste hålla skillnad på värdet av funktionen och funktionen i sig.

Jag kan göra ett försök.

Vi vet att $\sin(\alpha)=p$ .

Enligt trigonometriska ettan så har vi då att $\cos(\alpha)=\pm\sqrt{1-p^2}$ .

Eftersom $\frac{3\pi}{2}<><>$ så gäller att $\cos(\alpha)>0$ och alltså att $\cos(\alpha)=\sqrt{1-p^2}$ .

Eftersom $\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ så har vi alltså att $\tan(\alpha)=\frac{p}{\sqrt{1-p^2}}$ .

Yngve skrev:
Jag kan göra ett försök.

Vi vet att $\sin(\alpha)=p$ .

Enligt trigonometriska ettan så har vi då att $\cos(\alpha)=\pm\sqrt{1-p^2}$ .

Eftersom $\frac{3\pi}{2}<><>$ så gäller att $\cos(\alpha)>0$ och alltså att $\cos(\alpha)=\sqrt{1-p^2}$ .

Eftersom $\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ så har vi alltså att $\tan(\alpha)=\frac{p}{\sqrt{1-p^2}}$ .

Tusen tack!