MAFY 2012 fråga 16

Gör omskrivningen $2{\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin \left(2x\right)=2{\sin }^{2}x+\sqrt{3}*2\sin x\cos x=2\sin x\left(\sin x+\sqrt{3}\cos x\right)$

Sedan kan du använda nollproduktsmetoden. Fråga igen om detta inte hjälper!

PS. Du behöver inte lösa den helt, utan bara göra en rimlighetsbedömning!

$\sin x =0$och $2 \sin x=0$ har ju samma lösningar, d.v.s. 0 och $\mathrm{\pi }$.

Hur vet jag om det andra uttrycket är 0 i intervallet?

Skissa kurvorna $y=\sin x$ och $y=\sqrt{3}\cos x$ med papper och penna i intervallet. Hur många punkter ser det ut att finnas där de tar ut varandra?

Jag har skissat, men vet inte hur jag ska avläsa svaret. Jag kan ju till exempel inte kolla på skärningspunkterna.

I din skiss, kan du markera på pi och pi/2 på x-axeln?

Ser det ut typ så här?

Nytt försök. Inte lika snyggt som joculator, men gjort för hand:

Om du kollar på kurvorna syns det rätt tydligt att summan blir 1 när x=π/2

Sedan minskar båda kurvorna hela vägen till π. Det betyder att summan kommer att minska, bli 0 någonstans på vägen och sedan bli ett negativt tal. Ser du det på kurvorna? Det betyder att det bara finns en lösning mellan π/2 och π!

Jag förstår fortfarande inte hur jag ska veta att: $\sin x +\sqrt{3}\cos x =0$. Hur kan jag veta att det finns ett x i intervallet då uttrycken tar ut varandra exakt? Jag har ritat skissen och den ser ut som eran, men kan fortfarande inte förstå hur jag ska avläsa att det finns en till lösning. 

Vi har skrivit om den ursprungliga ekvationen;
$2{\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin \left(2x\right)=0$
till
$2\sin x(\sin x+\sqrt{3}\cos x)=0$
Det tror jag att du är med på.

För att detta skall stämma måste en eller båda av följande uttryck stämma:
$2\sin x=0$och/eller
$\sin x+\sqrt{3}\cos x=0$
Detta enligt nollprodukt regeln.  Jag tror att du är med på detta också
Jag tror du kan lösa x*sinx=0 så då återstår:
$\sin x+\sqrt{3}·\cos x=0$

Vi ville veta hur många gånger detta sker i intervallet $0\le x\le \mathrm{\pi }$
För att bestämma detta ritade vi upp graferna.

För $0\le x\le \frac{\mathrm{\pi }}{2}$är bägge positiva och då kan deras summa inte vara 0
För $x>\mathrm{\pi }$är bägge negativa och då kan deras summa inte vara 0

Så det som är intressant är  $\frac{\mathrm{\pi }}{2}<x<\mathrm{\pi }$

Då är den ena positiv och den andra negativ. Summan kan bli 0.
Eftersom summan gåt från positiv till negativ (och graferna är kontinuerliga) måste summan vara 0 någon gång. Men det kunde ju vara flera gånger. I grafen syns tydligt att det bara kan vara EN gång. Är du med på det?

Båda graferna är avtagande. 

Yes, nu är jag med. Tack! :)